线线垂直 线面垂直 面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．

5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使

得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论

6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.

7、在四棱锥中，

底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD

8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .

求证：AB DE ⊥

9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD

10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。

求证：（1）平面EFG //平面ABC

（2）SA BC ⊥

11、如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知5,8,6,===⊥DF BC PA AC PA .

求证：（1）直线//PA 平面DEF ;

（2）平面⊥BDE 平面ABC

12、如图，在正方形ABCD 中，,1,2==BC AB E 是CD 的中点，F 是AE 的中点。现在沿AE 将ADE ∆向上折起，在折起的图形中解答下列问题：

（1）在线段AB 上是否存在一点K ，使得//BC 平面DFK ?若存在，请正明你的结论；若不存在，请说明理由。 V D C B A S

A

B

（2）若平面⊥ADE 平面ABCE ,求证：平面⊥BDE 平面ADE

13、如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB PA AB AC AB //,,⊥⊥,CD AB 2=, N M G F E ,,,,分别是PC PD BC AB PB ,,,,的中点。

（1）求证：//CE 平面PAD ；

（2）求证：平面EFG ⊥平面EMN

14、如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,,//=⊥AB AB AD CD AB ,AD=2，

31=AA ，E 为CD 上一点，3,1==EC DE

（1）证明：⊥BE 平面11CC BB ;

（2）求点1B 到平面11C EA 的距离。