灰色系统理论模全教程g

一、灰色系统理论的产生和发展动态
1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文 论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这 一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关 研究迅速发展。
一、灰色系统理论的产生和发展动态
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》， 同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创 刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统 论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。 国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500 多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农 业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学 领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的 大量实际问题，取得了显著成果。
1(7)＝1.000，
同理得出其它各值，见下表
编号 i (1) i (2) i (3) i (4) i (5) i (6) i (7)
1
0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778
n k1
n k1
计算后验差比为
C S2 / S1
计算小误差概率为
p P e(k) e 0.6745S1
(2 36)
(2 37)
指标C和p是后验差检验的两个重要指标.指标C越小 越好, C 越小表示S1大而S2越小.S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
x0 (k)
xi (k)

max(7, 6, 5, 6, 6, 5)

7
6． ＝0.5 取计算，得
1(1)

0 0.5 7 1 0.5 7

0.778，
1(2)

0 0

0.5 7 0.5 7
1.000
1(3)＝0.778，1(4)＝0.636，1(5)＝0.467，1(6)＝0.333
灰色系统理论与应用
项目
三种不确定性系统研究方法的比较分析
(灰色系统理论、概率统计、模糊数学)白色系统
灰色系统
概率统计
模糊数学
研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
基础集合 灰色朦胧集
康托集
模糊集
方法依据
信息覆盖
映射
映射
途径手段 灰序列算子
频率统计
截集
数据要求
任意分布
典型分布
隶属度可知
侧重点
相对误差检验法
设按GM (1.1)建模法已求出Xˆ (1) ,并将Xˆ (1)做一次累
减转化为Xˆ (0) ,即
Xˆ (0) [ xˆ (0) (1), xˆ (0) (2), , xˆ (0) (n)]
(2 31)
计算残差得
E [e(1), e(2), , e(n)] X (0) Xˆ (0)
小误差概率p 0.95<=p
2级（合格） 0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
3级（勉强） 0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
4级（不合格 0.65<C
P<0.70
于）是,模型的精度级别 Max p的级别,C的级别
关联度检验法
灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状 的接近程度,一般来说,几何形状越接近,变化趋势 也就越接近,关联度就越大.因而在进行关联分析 时,必须先确定参考数列,然后比较其它数列同参 考数列的接近程度,这样才能对其它数列进行比 较,进而做出判断.
应用举例：
某地区有6个母因素Yi，5个子因素X j ,如下： X1 :固定资产投资；X 2 : 工业投资；X 3 : 农业投资； X 4 : 科技投资；X5 : 交通投资。Y1 :国民收入；Y2 : 工业收入 Y3 : 农业收入；Y4 : 商业收入；Y5 : 交通收入；Y6 : 建筑业收入
固定 工业
依次为1号，5号，3号，6号，2号，4
号．r01 r05 r03 r06 r02 r04 即
存在的问题及解决方法
应用举例
第二节：优势分析
为什么要进行优势分析？
有时，参考列不止一个，被比较的因素也不止一 个，这时，就需要进行优势分析。
举例： 某关联矩阵R
潜在优势子因素，次潜在优势子因素；潜在优势母因素等
三、灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过20多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
区分白色系统于灰色系统的重要标志是系统 内各元素之间是否具有确定的关系
运动学中物体运动的速度，加速度与其所受 到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确 的定量来阐明，因此。物体的运动便是一个 白色系统。
二、灰色系统的基本概念
作为实际系统，灰色系统在世界中是大量存在的，绝对的 白色或黑色系统是很少的，尤其在社会经济领域，如粮食 作物的生产等。
其中, e(k) x(0)(k) xˆ (0)(k), k 1, 2, , n
(2 32)
计算相对误差得 e(k)
rel(k) x(0)(k) 100%, k 1, 2, , n
(2 33)
计算平均相对误差得
1 n
rel rel(k) , n k1
(2 34)
设X0 X0(1), X0(2), , X0(n)为参考序列, Xi Xi (1), Xi (2), , Xi (n), i 1, 2, , m为
其它序列, 则X 0与X1的关联系数为 :
ij

min j
X0(
j)
Xi(
X0( j) Xi( j)
概率统计研究的是“随机不确定”现象着重于考察“随
机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结 果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计、模糊数学所难以解决
的“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖， 通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少 数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。比如说到2050 年，中国 要将总 人口控制在15 亿到16 亿之间，这“15 亿到16 亿之”是一个 灰概念，其外延是很清楚的，但如果要进一步问到底是15 亿 到16 亿之间的哪个具体数值， 则不清楚。
三、灰色系统的应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。
灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统 的一个新型的理论工具。
四、灰色系统理论建模的主要任务
第一节：关联分析
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538
5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
7．分别计算每个人各指标关联系数的均 值（关联序）：
r01

0.778 1.000
0.778
0.636 7
0.467
0.333 1.000

0.713
r02 0.614，r03 0.680，r04 0.599，r05 0.683，r06 0.658
8．如果不考虑各指标权重（认为各指标 同等重要），六个被评价对象由好到劣
农业
科技
交通投资 国民收入 工业 农业 商业 交通 建筑
行
第三节：生成数
累加生成的意义：
应用举例
图 8-2
图 8-3
存在的问题
解决的方法
图 8-7
没有累加生成时的误差为21.26%
第四节：GM 模型
欲确定系数，必须先求出B
需要使得残差的平方和最小。（用最小二乘法）
二、灰色系统的基本概念
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
二、灰色系统的基本概念
2．对原始数据经处理后得到以下数值， 见下表
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
18987529
27875738
39796647
46888436
58669838
68957648
3．确定参考数据列：
{x0} {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}
4．计算 x0(k) xi(k) ， 见下表
后验差检验法
设按GM(1.1)建模法所求出的Xˆ (0)如(2 31)所示,残
差如(2 32)所示,原始序列X (0)及残差序列E的方差
分别为S12和S22 ,则
S12

1 n
n
[x(0)(k)
k 1
x ]2
S22

1 n
n
[e(k) e ]2
k 1
(2 35)
其中, x 1 n x(0)(k), e 1 n e(k)
应用举例
第五节：灰色预测
应用举例
预测步骤
GM(1.1)模型的精度检验
模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合 理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型 的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法, 关联度检验法和后验差检验法.下面对这三种方法 做个简单介绍.
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
1
1
0
1
2
3
7
0
2
2
1
2
4
1
6
1
3
0
2
0
3
2
5
2
4
3
1
1
1
4
6
3
5
1
3
3
0
0
6
1
6
1
0
4
2
2
5
1
5．求最值
nm
min min i1 k 1
x0 (k)
xi (k)

min(0,1, 0,1, 0, 0)

0
n
m
max max i1 k 1
内涵
内涵
外延
（不明确）
目标
现实规律 历史统计规律 认知表达
特色
小样本
大样本
凭经验
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对
象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。比如“年轻 人”就是一个模糊概念。因为每一个人都十分清楚“年 轻人”的内涵。但是要让你划定一个确切的范围，在这 个范围之内的是年轻人，范围之外的都不是年轻人，则 很难办到。因为年轻人这个概念外延不明确。对于这类 内涵明确、外延不明确的“认知不确定”问题，模糊数 学主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。灰色系统与 模糊数学的区别主要在于对系统内涵与外延的处理态度 不同，研究对象内涵与外延的性质不同。“灰色”概念 着重研究外延明确、内涵不明确的对象; “模糊”概念则 是研究内涵明确而外延不明确的对象。
Step 2. 将各个数量按照其对参照数列的意义初始化 Step 3. 将初始化后的数列代入(8-1)和(8-2)，即先求 出关联系数，然后在关联系数的基础上求出关联度。
应用举例
Step 4. 对关联度依据大小排序，给出分析结果。
应用举例
例：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进 行综合评价
1．评价指标包括：专业素质、外语水平、 教学工作量、科研成果、论文、著作与出 勤．
指标p越大越好, p越大, 表明残差与残差平均值之差小于 给定值0.67451的点较多,即拟合值(或预测值)分布比较 均匀.按C, p两个指标,可综合评定预测模型的精度.模型 的精度由后验差和小误差概率共同刻划.一般地,将模型
的精度分为四级,见表2-1
表2 1 精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值C 1级（好） C<=0.35