定积分的概念讲义

定积分的概念

【知识要点】

(1)定积分的定义及相关概念

① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑

i ＝1

n

b －a

n

f (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a

b f (x )d x .

即：()()1

lim n i n i b b a

f x dx f a n ξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛a

b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫

做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。 那么定积分

()b

a

f x dx ⎰

表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线

()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

(3 )定积分的性质 ①

a b dx b

a

-=⎰1

②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b

f 2(x )d x . （定积分的线性性质）

④⎠⎛a

b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠⎛c

b f (x )d x (其中a <

c

说明：①推广：1212[()()()]()()()b

b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±⎰

⎰⎰⎰

②推广:

12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰

⎰⎰⎰

③性质解释：

P

C

N M B A

a

b

O

y

x

y=1

y

x

O

b

a

【例题精讲】

例1．计算定积分

2

1

(1)x dx +⎰

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为

52

。 即：

2

1

5(1)2

x dx +=

⎰

思考：若改为计算定积分

2

2

(1)x dx -+⎰

呢？

改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢？ 例2．求曲线2

y x =与x=1,y=0所围成的区域的面积

解： ①分割 将区间[]0,1等分为n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,i i n n -⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

，…，1,n n n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，每个小区间的长度为11i i x n n n -∆=-= ② 近似取代 过各点做x 轴的垂线，把梯形分成n 个小曲边梯形，在分别用小区间左端

点的纵坐标为2

1i n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

为高，x ∆1n =为底作小矩形，于是图中曲线i 之下矩形的面积依次为：210n ⋅，211n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，221n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，…，2

11n n n

-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭

③ 求和 所有这些小矩形的面积之和为

n S =210n ⋅+2

11n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+2

21n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+…+2

11n n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=()2

222310121n n ⎡⎤++++-⎣

⎦

性质1

性质4

AMNB AMPC CPNB

S S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形 1 2

y

x

o

=()()312116

n n n n --⋅ =111126n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

④ 取极限 1111

lim lim

1263

n n n S S n n →∞

→∞⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【习题精练】

1. 函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

上，（ ） A.()f x 的值变化很小 B.()f x 的值变化很大

C. ()f x 的值不变化

D. 当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D

2. 当n 很大时，函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的值，可以用下列函数值近似代替的是 （ ） A. 1f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. i f n ⎛⎫

⎪⎝⎭

D. ()0f

答案：C

3. “以直代曲”中，函数()f x 在区间[]1,i i x x +上的近似值等于（ ） A. 只能是左端点的函数值()i f x B. 只能是右端点的函数值()1i f x + C. 可以是该区间内任一点的函数值()i f ξ（[]1,i i i x x ξ+∈）

D. 以上答案均正确 答案：C

4. 设()f x 在[],a b 上连续，将[],a b n 等分，在每个小区间上任取i ξ，则()b

f x dx a ⎰是

（ ） A. ()1lim

n

i n i f ξ→∞

=∑

B. ()1lim n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-⋅

∑ C. ()1

lim n

i

i

n i f ξξ→∞

=⋅∑ D. ()()11

lim n

i

i

i n i f ξξ

ξ-→∞

=⋅-∑

答案：B