几何必会模型：8字模型与飞镖模型

2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
E F D
．
G
C
H A B
解： ∵∠G+∠D=∠3， ∠F+∠C=∠4， ∠E+∠H=∠2， ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
A E F D 图① E 图② D C A B
A O F E 1 2 3 P 图⑤
B
A O
B
Q
C D
F 1 E 图⑥ 2 D
C
（2）解法一： 如图⑤，利用角的 8 字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的 8 字 模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的 8 字模型．如图⑥，连接 DE．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型） ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F ＝360°．（四边形内角和为 360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
A D B M
A 1 B 3 4 2
C
D M
பைடு நூலகம்
C
解答：利用角的飞镖模型 如图所示，连接 DM 并延长．∵∠3 是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM， ∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4 ∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型） ∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1
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模型 1：角的 8 字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A D
O B C
模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角， ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二： ∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180° ，∴∠A＋∠D＝180° －∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180° ， ∴∠B＋∠C＝180° －∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型． （2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
练习： 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
A E
115°
.
C
B
D
F
【答案】230° 提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .
解法二：
模型 2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
A
A
A
D 3
1 2
D B C
B
D
4 C
B
1 2 图②
3 4
图①
C
模型分析 解法一：如图①，作射线 AD． ∵∠3 是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4 是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C 解法二：如图②，连接 BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例 如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，AM 与 CM 交于 M，探究∠ AMC 与∠B、∠D 间的数量关系．
BAD BCD ， 2 ， 2 2
∴ AMC
360 B ADC BAD BCD ADC （四边形内角和 ADC ，∴ AMC 2 2 2
360 B ADC ，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°. 2
360°），∴ AMC
A B O E B C C D 图① 图② D A O E
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
．
E B C D
A O
E
D 图②
解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D， 又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180° 解法二：
A E B F C 图① D E C
A
A B
A
E
B 1 O 2
C DD
B C
F 12
G E
D 图④
图② 图③
解法一：利用角的 8 字模型．如图③，连接 CD．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180° ． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1 是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C＋∠E． ∵∠2 是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B＋∠D． ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180° ．