高中数学正四面体与正方体

正四面体与正方体

在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考：

（1）正方体如何演变出正四面体？

（2）正方体如何演变出正八面体？

（3）正方体如何演变出正三棱锥？

（4）正方体如何演变出斜三棱锥？

【考题1】 （正四面体化作正方体解）

四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.3π

B.4π

C.3π3

D.6π

【说明】 本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.

【拙解】 正四面体棱长为⇒2底面ABC 是边长为2的正三角形△ABC 的

高线BD =2

3·2=26

（斜高VD =26）⇒△ABC 的边心距HD =31·26=⇒6

6正四面体V —ABC 的高 .332)66()26(

2222=-=-=HD VD VH 正四面体外接球的半径为高的43

，即R =43·.2

3332= 故其外接球的表面积为3π. 答案是A.

【联想】 1、2、3的关系 正四面体的棱长为

2，这个正四面体岂不是由棱长为1的 正方体的6条“面对角线”围成？

为此，在棱长为1的正方体B —D 1中，

（1）过同一顶点B 作3条面对角线BA 1、BC 1、BD ；

（2）将顶点A 1，C 1，D 依次首尾连结.

则三棱锥B —A 1C 1D 是棱长为2的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.

【妙解】 从正方体中变出正四面体

以2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，这个正方体的体对角线长为3，则其外接球的半径为23，则其外接球的表面积为S =4πR 2=4π (2

3)2＝3π 以

2为棱长的正四方体B —A 1C 1D 以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为

S =3π. 【寻根】 正方体割出三棱锥

在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.

每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.

事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有

12C 48 =58个.

至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.