最新数学必修五第一章复习知识点及题型

必修5第一章：解三角形

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则

有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c

C R

=；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．

4、余 定理：在C ∆AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，2

2

2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=．

6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2

2

2

a b c +=，则90C =o

为直角三角形；

②若2

2

2

a b c +>，则90C

为锐角三角形；③若2

2

2

a b c +<，则90C >o

为钝角三角形． 考点一：正弦定理的应用

例1(1) 在ABC ∆中，2010,1a b ==，则sin

:sin A B 等于 （ ）

A ．1：1 B. 1：2010 C. 2010：1 D. 不确定

(2) 在ABC ∆中，若3,75,60AB B C ==︒=︒，则在ABC ∆中，BC = (3) 在ABC ∆中，角

,,A B C 所对边,,a b c

，若1,3

a c C π

==

=

，则

A =

（4） 在ABC ∆中，若cos cos cos a b c

A B C ==

，判断ABC ∆的形状.

(5) 在ABC ∆中，分别根据所给条件指出解的个数 ①4,5,30a b A ===︒ ②5,4,60a b A ===︒

③120a b B ===︒

例2.已知ABC ∆中，sin sin ,b B c C =且222sin sin sin A B C =+，试断三角形的形状。

考点二：余弦定理

例3(1) 已知ABC ∆

满足60,3,B AB AC =︒==

BC 的长等于 （ ）

A ．2 B. 1 C. 1或2 D. 无解 (2) 在ABC ∆中，角

,,A B C 所对边,,a b c

，若222a c b +-=

，则角B 为（ ）

A ．6π B. 3π C. 6π

或56π

D. 3π或23π

(3) 在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 5:6:8A B C =，那么此三角形最大角的余弦值是

(4) 在ABC ∆中，若cos cos b A a B =，试判断三角形的形状。

(5) 在ABC ∆中，已知7,3,5a b c ===，求最大角和sin C 。

(6) 设锐角ABC ∆的角

,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a b A =

（1）求B 的大小 （2

）若5a c ==，求b

例4（1）. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，23

B π

=

，4b a c =

+=求a 。

(2) 在ABC ∆中，角

,,A B C 所对边,,a b c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B 等于（ ）

A ．14 B. 3

4 C.

4

D.

3

(3) 在

ABC ∆中，三内角分别是,,A B C

，若

sin 2cos sin C A B

=，则此三角形一定是

（ ）A ．直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

(4) 在直角ABC ∆中，,A B 为两锐角，则sin sin A B 中

（

）

A ．有最大值12和最小值0 B. 有最大值12

，但无最小值

C. 无最大值也无最小值

D. 有最大值1，但无最小值 (5) 在ABC ∆中，若2,60b a B A ==+︒，则A = 。

(6) 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边,,a b c ，已知))

22sin sin sin C B A b =

--，ABC ∆外

,求角C .

考点三：三角形面积公式应用

例5(1) 在ABC ∆中，已知60,1,ABC A b S ∆=︒=sin sin sin a b c

A B C ++++等于 （ ）

A ． B. 3 C. 3 D.

2

(2) 在ABC ∆中，若7,3,8a

b c ===，则ABC ∆的面积等于

(3) 在ABC ∆中，三边,,a b c 与面积S 的关系为:2

22

4a S b c

+=+,则角

A =

(4) 在ABC ∆中，4sin10,2sin 50,70a

b C =︒=︒∠=︒,则ABC S ∆=

(5)在ABC ∆中，已知()()sin ,sin cos ,,2m C B A n b c ==u r r

，且0m n •=u r r ①求角A ，

②若2a c ==，求ABC ∆的面积。

(6)在ABC ∆中，cos 25A =，3AB AC •=u r u u r

，①求ABC ∆的面积 ②若1c =，求a 的值

（7）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c 2sin c A =

（1）求C （2）若c =2

ABC S ∆=

，求a b +的值。

考点四：解三角形实际应用 例6（1） 已知两灯塔

A 和

B 与海洋观测站C

的距离都等于

a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东

20︒，灯塔B 在观测站C 的南偏东40︒，两塔的距离为 （ ）