2017届上海市嘉定区高三数学一模试题答案及解析

2017届上海市嘉定区高三数学一模试题答案及解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．

【分析】利用交集定义求解．

【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），

集合B=Z，

则A∩B={2}，

故答案为：{2}

2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．

【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．

【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），

∴T==π，

∴ω=2．

故答案是：2．

3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．

故答案为：．

4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），

即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），

∴4=log2（1+1）+a

∴4=1+a，

a=3．

故答案为：3．

5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．

【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．

【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n

又各项二项式系数的和为2n

据题意得，解得n=6．

故答案：6

6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．

【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．

【解答】解：根据题意，采用间接法：

①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，

②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，

故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．

故答案为60．

7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．

【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．

【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：

2πr=π×2，

解得r=．

故圆锥的高h==，

∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．

故答案为：．

8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．

【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．

【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．

n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．

=4（n+1）．

∴（）==2．

故答案为：2．

9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．

【考点】余弦定理．

【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，

由余弦定理得cos∠ADC==﹣，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°

在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，

由正弦定理得，

∴AB=

故答案为：．

10．有以下命题：

①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；

②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；

③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；

④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；

其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）

【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，

所以①正确．

②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．

③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．

④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），

显然交点不在直线y=x上，所以④错误．

故答案为：①②．

11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．

【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值

【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，

∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），

∵A、B、C三点共线，

∴=λ，

∴，

解得2a+b=1，

∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，

故+的最小值为8，

故答案为：8

12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．

【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．

【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，