数列中的最值问题-高三数学备考练习

问题19 数列中的最值问题

一、考情分析

数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享

(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．

②用作商比较法，根据a n ＋1

a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．

(2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨

⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，

则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2

＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展

已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，

若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k k

S S -最大。 四、题型分析

(一) 求数列的最大项或最小项

求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =

2

156

n

n +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11

n n

n n a a a a 的n 的值.

【解法一】基本不等式法.

， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A

(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值

【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为

，且

145,,2a a a -成等差数列，

，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2017

2018

n T >

的最小正整数n 的值为（ ）

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C

【解析】

，当2n ≥时，

，由145

,,2a a a -成等差数列可得

，

即

，

解

得

2

m =-，故

2n

n a =，则

，

故

，由

2

0172018

n T >

得

，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.

【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项

，数

列

的前项和为

，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列

，则满足

的的最大整数值为（ ）

A ．338

B ．337

C ．336

D ．335 【答案】D

(四) 求满足条件的参数的最值

【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设1

1

n n n b a a +=

,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.

【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．

(2)由32n a n =- ,可得

.

因为

,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,

所以

,所以实数t 的最大值是1.

【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．

【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为1

1

n a n =

+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .

【答案】5 【解析】要使恒成立,只需

.

因

,

所以,

，

数列为等差数列，首项为，

,

,

,,

在数列中只有,,为正数

的最大值为

故选

5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式

,则满足不等式的的最小值是( )

A．62 B．63

C．126 D．127

【答案】D

6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，

，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

【答案】B

【解析】数列中，，，

得到：，

，

，

，