流体力学第七章

U
（7－1）
§7-2
边界层基本微分方程
粘性不可压缩流体,不计质量力， 粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过 小曲率物体，物体表面可近似当作平面。 小曲率物体，物体表面可近似当作平面。 取物面法线为ｙ 取物面法线为ｙ轴。在大Re数情况下的边界 在大Re数情况下的边界 Re 层流动有下面两个主要性质： 层流动有下面两个主要性质： 边界层厚度较物体特征长度小得多， 1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即 δ δ′= 1 L 2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级 2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级
边界层： 在固体壁面附近， 边界层： 在固体壁面附近，显著地受到粘性 影响的这一薄层。 影响的这一薄层。 从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先 从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl率先 建立了边界层内粘性流体运动的简化方程， 建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创 了近代流体力学的一个分支——边界层理论。 了近代流体力学的一个分支——边界层理论。 ——边界层理论 均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得 均匀来流绕一薄平板流动， 沿平板垂直方向的速度分布如下图： 沿平板垂直方向的速度分布如下图：
边界层厚度
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域： 根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域： 一、边界层 这一薄层内速度梯度
∂vx ∂y
很大。 很大。
∂vx 1 ∂vy ∂vx 边界层内的流动是有旋流动 ωz = ( − ) =− 2 ∂x ∂y ∂y
二、边界层外部区域 边界层外部粘性影响很小， 可以忽略不计， 边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计， 可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。 理想流体无旋势流。
边界层内的流动状态： 边界层内的流动状态：
层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层 层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层 其厚度与Re有关。 Re有关 （层流底层） ，其厚度与Re有关。 层流底层）
层流边界层转变为湍流边界层的判别准则： 层流边界层转变为湍流边界层的判别准则： 雷诺数
Re = Ux
ν
边界条件化为： 边界条件化为：
νL
U y = 0, y → ∞,
ψ
νL
U
∂ϕ = 0, ∂y ∂ϕ =U ∂y
ψ ∂ϕ
L ∂x
=0
νL
U
ψ
νL
U
（7－12）
若令ψ
= ν UL
,则方程和边界条件都将变成无量
纲的形式,并且其中不再显含ν 纲的形式,并且其中不再显含ν和Ｕ。
∂ϕ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ − = 2 ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂y 3 ∂ϕ ∂ϕ y = 0, = 0, =0 ∂x ∂y ∂ϕ y → ∞, =1 ∂y
与来流速度相同的量级,U99％ 与来流速度相同的量级 99％ 99 均 匀 来 流 速 度
平板上u=0 平板上u=0
边界层内粘性 边界层内粘性 力不可忽略
这一薄层内速度 ∂v 梯度 ∂ y 很大
x
边界层外边界
U99％ U99％
外边界上流速达到U99 U99％ 边界层名义厚度 外边界上流速达到U99％的 点到物面的法向距离。 点到物面的法向距离。
重要推论： 重要推论： （1）边界层内各 1 截面上压力等于 同一截面上边界 层外边界上的压 力： 即：P1=P2=P
x
P P1 P2
（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度， 势流的近似计算中，可略去边界层的厚度， 解出沿物体表面的流速和压力分布， 解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就 是边界层边界上的速度和压力分布， 是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计 算边界层。 算边界层。 （3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N-S 根据边界层厚度极薄的基本假设，可将N 方程化简，获得边界层的基本微分方程。 方程化简，获得边界层的基本微分方程。
上述边界层方程简化为： 上述边界层方程简化为：
∂vx ∂vx ∂ 2vx vx + vy = ν ∂x ∂y ∂x2 ∂vy ∂vx + = 0 ∂x ∂y
（7－5）
边界条件： 边界条件： ｙ＝０ ｙ＝０，Vｘ＝０，Vy＝０； ｙ→∞，Vｘ＝Ｕ。 →∞， 严格上，速度从零增至Ｕ 严格上，速度从零增至Ｕ须经过无限远距 离，近似认为ｙ＝δ，Vｘ＝U。 近似认为ｙ＝δ ｙ＝
∂ 2 v′ 1 x ~ 2 2 ∂y ′ δ ′′
化简后为
v
x
∂vx + v ∂x
y
∂vx ∂ 2vx 1 ∂p = − + ν ρ ∂x ∂y ∂x2
∂p = 0 ∂y ∂vy ∂vx + = 0 ∂x ∂y
（7－4）
边界条件： 边界条件： ｙ＝０ ｙ＝０，Vｘ＝Vｙ＝０； ｙ＝δ ｙ＝δ，Vｘ＝Ｕ（ｘ）。 上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。 上式为边界层基本微分方程（Prandtl方程）。 方程
讨论： 讨论： Prandtl边界层方程中第二个方程： Prandtl边界层方程中第二个方程： 边界层方程中第二个方程 说明了什么？ 说明了什么？ p0 p1 p2
∂p = 0 ∂y
p1= p2 = p3 = p0
p3
Prandtl边界层方程的求解 Prandtl边界层方程的求解 Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 边界层流动。 边界层流动。 均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， 均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， ，ｘ轴平行于板面 原点在平板前缘， 原点在平板前缘， 平板极薄且无曲度， 平板极薄且无曲度， 边界层外缘处速度 为来流速度Ｕ。 Ｕ。沿 为来流速度Ｕ。沿 边界层外缘上各点 上压力相同， d x 上压力相同， d p = 0 即
∂ ϕ ∂ 2ϕ ∂ ϕ ∂ 2ϕ ψ ∂ 3ϕ ( − ) = ν ν L 3/2 2 3 νL L ( U ) ∂y ∂x∂y ∂x ∂y (U ) ∂y
2
ψ
(7-10)
或
ψ ∂ ϕ ∂ 2ϕ ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ 3ϕ ( − )= 2 ∂y 3 ν UL ∂y ∂x∂y ∂x ∂y
（7－11）
2 2 3
（7－13）
这就是无量纲运动方程及边界条件, 这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再 显含ν Ｕ，其解也应该不包含 其解也应该不包含ν 显含ν及Ｕ，其解也应该不包含ν及Ｕ。 即
ψ =ψ(x, y)
（7-14）
求出
ϕ
，则ψ为：
x y ϕ = ν ULϕ ( , ) L νUL
(7-15)
6.平板湍流边界层 6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 曲面边界层分离现象 10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法 减少粘性阻力的方法 形状阻力
§7-1
边界层的概念
N-S方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 方程理论上完备但求解困难。解决(求解) 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。 工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。 的范围), ),粘性力与惯 高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯 Re时 量级在10 性力相比是很小的。 性力相比是很小的。 1904年 L.Prandtl指出， 1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流 指出 体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴 如空气、 ），粘性对流动的影响仅限于贴 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外， 近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性 完全可以忽略。 完全可以忽略。
y=0
∂ψ =0 ∂y
∂ψ =0 ∂x
x >0
பைடு நூலகம்
y→∞
∂ψ =U ∂y
若求出了流函数ψ 便可求出速度， 若求出了流函数ψ，便可求出速度， ψ应是ｘ，ｙ的函数，且ψ中包含ν和Ｕ（起 应是ｘ，ｙ的函数， ｘ，ｙ的函数 中包含ν Ｕ（起 参数作用），ν 参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的 ）， 不同时，同一空间点上ψ 值不同。 值不同。 现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲 化，不再出现ν和Ｕ。 不再出现ν 选特征量： 选特征量： Ｌ：ｘ的比例尺， Ｌ：ｘ的比例尺， 的比例尺
第七章
边界层理论（ 边界层理论（Boundary
Layer ~）
课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的 课堂提问： 远？为什么龙舟的形状是细长体？ 为什么龙舟的形状是细长体？
本章内容： 本章内容： 1.边界层基本概念 边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层 5.平板层流边界层
x
∂x
+ v
y
∂y
∂v y ∂vx + = 0 ∂x ∂y
连续性方程
引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中 引进特征长度Ｌ、特征速度Ｕ，将方程中 Ｌ、特征速度Ｕ， 的各物理量无量纲化： 的各物理量无量纲化：
x x′ = , L y y′ = , L vx v′ = , x U v′ = y vy U , p p′ = ρU
2
将其代入N 方程，整理后得： 将其代入N-S方程，整理后得：
∂v′ ∂v′ ∂p ′ 1 ∂ 2v′ ∂ 2v′ x x x x v′ + v′ =− + ( + ) x y 2 2 ∂x′ ∂y ′ ∂x′ R e ∂x′ ∂y ′ 1 1 2 2 1 ⋅1 δ ⋅ (δ ) 1 2
(a )
δ
～1
∂v′ ∂v′ x x = , ∂y′ ∂x′
∂ v ′y ~ 1, ∂y′
v ′y ~ δ ′
∂v ′ ∂ 2 v′ 1 y x ~ 1， ~ , 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ′ ∂v ′ y ~ δ ′, ∂x ′ ∂ 2 v′ y ~δ′ 2 ∂x ′
∂v ′ 1 x ~ ∂y ′ δ ′′
引入流函数ψ 与速度的关系为： 引入流函数ψ，与速度的关系为：
∂ψ ux = ∂y ∂ψ ux = − ∂x
（7－6）
将其代入简化后的边界层方程第一式有： 将其代入简化后的边界层方程第一式有：
∂ψ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ ∂ 3ψ − =ν 2 ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂y 3
（7－7）
边界条件： 边界条件：
ｘ为离平板前缘点的距离
对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为 对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为： 临界雷诺数
R e kp = ( Ux
ν
) kp =
U x kp
ν
= 5 × 105
层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标 层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标
x kp = 5 × 1 0
5
ν
δ
′ ∂ 2 v′ ∂p ′ 1 ∂ v y y + v′ =− + v′ ( 2 + ) x y 2 ∂x ′ ∂y ′ ∂y ′ Re ∂x ′ ∂y ′ 1 2 1⋅δ δ⋅ 1 (δ ) δ ′ δ′ ∂v′ ∂v′ y x + =0 ∂x′ ∂y′ 1 1
2
∂v ′ y
∂v ′ y
(b )
以此作为基本假定， 以此作为基本假定，将N-S方程（二维）化简： 方程（二维）化简：
v v
x
∂vx + v ∂x ∂v
y
y
∂vx ∂y ∂v
y
∂ 2vx ∂ 2vx 1 ∂p = − + ν ( + ) 2 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂ 2vy ∂ 2vy 1 ∂p = − + ν ( + ) 2 2 ρ ∂y ∂x ∂y
注意： 注意：
平板为半无限长即没有任何特征长度， 平板为半无限长即没有任何特征长度，故其解 不应包含Ｌ 只是任选的长度比例尺) 不应包含Ｌ(只是任选的长度比例尺)，而只应该 包含ν 包含ν和Ｕ。 （11-14）式应采取如下形式： 11-14）式应采取如下形式： 11
(c )
因为
δ
L
～
1 Re
，所以Re ～δ′2 所以Re
因为0≤x≤L 所以x = 因为0≤x≤L ，所以x’= 因为y’= 因为y =
y L
x L
～1
δ
L
,0≤y≤δ，所以y’～ ,0≤y≤δ，所以y ～
VX 所以v ，所以v’x= U
∂v′ x ~ 1, ∂x′
=δ’ =δ
因为0≤v 因为0≤vx≤U 所以 所以
ν L
U
：y的比例尺， 的比例尺，
ψ的比例尺 的比例尺， Ψ: ψ的比例尺，Ψ为常数
表示ψ，ｘ及 的无量纲值， 若用ψ , x, y 表示ψ，ｘ及ｙ的无量纲值，则有
x x = L y = y
ν L
U
ϕ ϕ = ψ
νL
U
(7－8) （7－9）
于是
x = Lx
y=
y
ϕ = ψϕ
代入（11-7）式，得 将（11-9）代入 代入 式