第三章_矩阵分析及其应用

1
( A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k 2 k k2 2
显然每一个 A(k) (k 1, 2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A lim A(k) 3
A(k) A A B(k) B A(k) A B A(k) A B(k) B A B(k) B A(k) A B 0
（4） PA(k)Q PAQ P( A(k) A)Q P A(k) A Q 0
（5） A1 ( A(k) )1 A1 [ A ( A(k) A)]1 A1 A1( A(k) A) 1 A1( A(k) A)
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
例 如果设 A(k ) (aikj )22 C 22 ，其中
a (k) 11
k 1
k 1
1, k(k 1)
a (k) 12 k 1
k 1
1 k3
a (k) 21 k 1
k 1
2k
,
a (k) 22 k 1
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn C mn，如果mn个常数项级数
a (k ij
)
,
i 1, 2,
, m; j 1, 2,
,n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
a (k ij
)
,
i 1, 2,
)
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag(
J
k 1
(1
),
J
k 2
(2
),
,
J
k r
(
r
))
P
1
显然，
lim Ak 0
k
的充要条件是
lim
k
J
k i
(i
)
0,
i
1,
2,
,r
又因 其中
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
c di 1 kdi 1 ki
k1 sin 2k
那么矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
A(k )
定理 设 A(k ) (aikj )mn C mn，则矩阵级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
k 1
绝对收敛的充分必要条件是正项级数
A(k ) A(1) A(2) A(k )
这样，当
lim A(k ) A 0
k
时同样可得
lim A(k ) A 0
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A(k ) A, lim B(k) B
k
k
则 lim aA(k ) bB(k) aA bB , k
A(k) A
定理 矩阵序列{A(k)} 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k ) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
c1 k1 ki ik
di di
ckl k(k 1)
(k l 1) (当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lim
k
J
k i
(i
)
0
的充要条件是 i
1。
lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 Cnn 的相容矩阵范数，则对任意 A Cnn ，都
k 1
收敛，其中 A 为任意一种矩阵范数。
mn
证明 取矩阵范数 A(k)
a (k) ij
，那么对每一对 i,j
都有
i1 j1
因此如果
A(k )
a (k) ij
A(k ) A(1) A(2) A(k )
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
即
lim
k
aij
(
k
)
aij
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
故有
lim
k
A(k )
A
(aij )
现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果 A 是另
外一种范数，那么由范数的等价性可知
d1 A(k ) A A(k ) A d2 A(k ) A
a, b C
（3）设 lim A(k ) A, lim B(k ) B ，其中 A(k ) C ml , B(k ) Cln
k
k
那么 lim A(k )B(k ) AB
k
（4）设 lim A(k) A ，那么 lim PA(k)Q PAQ
k
k
其中 A(k ) C mn , P C mm ,Q C nn
（5）设 li k 也收敛，且 lim( A(k ) )1 A1 k
证明： （2） aA(k) bB(k) aA bB a A(k) A b B(k) B 0 （3） A(k ) B(k ) AB A(k ) B(k ) A(k ) B A(k ) B AB
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有 上式即为
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
lim A(k ) A 0
k
mn
充分性：设
lim
k
A(k ) A
lim k i1
a (k) ij
aij
j 1
0
那么对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
第三章
矩阵分析及其应用
矩阵序列与极限
定义 设已知矩阵序列 {A(k )}，其中 A(k ) (aikj )mn C mn，当
k→∞， aikj aij时，称{A(k)}收敛，并称矩阵
A
(aij
)
为
mn
{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为
lim A(k) A 或
k
不收敛的矩阵序列称为发散。
A1 2 A(k ) A
0
1 A1 A(k ) A
例 1 若对矩阵A的某一范数 A 1 ，则 lim Ak 0
k
例 2 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1 。 k
证明 设A的Jordan标准形 J diag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))
i 1
Ji
(i