二次函数与根的判别式的关系

④y x2 2x 2
例1：已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有 两个交点，求k的取值范围．
变式：已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴 有交点，求k的取值范围．
变式：已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交 点，求k的取值范围．
练习
1.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有一个交点， 则k的取值范围是( C ) A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k=3 D．k≤3且k≠0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 开口____向__上_______________
a＜0 开口____向__下_______________
b=0 对称轴为__y___轴
a、b同号 对称轴在y轴的_左___侧 a、b异号 对称轴在y轴的_右___侧
c=0 经过原点
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c这两个“二次”之间互相转化的关 系。体现了数形结合的思想。
拓展2：（辅导P33第19题） 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴 没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位 长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共 点？
x1=x2=3
y = x2＋x－2
பைடு நூலகம்
-2
13
一元二次方程与二次函数的关系2： 一元二次方程ax2+bx+c=0根就是对应二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。
例2：若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示， （1）由图像你能直接看出关于x的一元二次方程x2+2x+k=0的其中一个解是多少吗？ （2）另一个解呢？
练习：辅导P31页， (-2,2) 2
第4题
-1 O
(4,2) 3x
拓展1：（辅导P32第13题） 已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k。 ⑴ 求证： 此抛物线与x轴有两个不同的交点。 ⑵ 当k=0时，求此抛物线与坐标轴轴的交点坐标。
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
ax2+bx+c=0的根
图象与x轴交点
b2-4ac > 0
有两个不相等 的实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有两个相等的实 数根
没有实数根
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
练习
不画图象，直接说出下列二次函数与x轴的交点个数 ①y x2 10 x 9 ②y x2 x 7
4 ③y 2x2 4x 2
2.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是( D ) A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
探究
请在图象中读出，抛物线与x轴的交点坐标，对比方程的解
你发现了什么？
y = x2－6x＋9
① x2＋x－2=0
x1=-2, x2=1
②x2－6x＋9=0
y = x2－6x＋9 1
一元二次方程与二次函数的关系1： 一元二次方程ax2+bx+c=0根的数目就是对应二次 函数y=ax2+bx+c与x轴交点的数目。
知识要点
只要验算△=b2-4ac即可知道一元二次方程根的情 况和对应二次函数与x轴的交点情况
△=b2-4ac 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的
（1）证明：∵△=4m2-4×1×（m2+3）=4m2-4m2-12= -12＜0，∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3， 把函数y=（x-m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度 后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m， 0）因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点。
c＞0 与y轴交于__正___半轴 c＜0 与y轴交于__负___半轴
y
O1 3 x
练习
y
8
1、已知二次函数 y x2 6x 8 的图象，
方程 x2 6x 8 0的解是_x_1=_2_,_x_2.=4;
2、一元二次方程 3x2+x－10=0的两个
根是x1=－2 ，x2=
5 3
，那么二次函数
y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标
是
(-2，0)
(
5 3
，.0)
y
-1
2
0
x
y= -x2+x+2
y
x2-4x+4=0
02
x
y -x2+x-2=0
0
x
③-x2+x-2<0.
x为全体实数
探究：图像与函数值问题
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_-_2_，__x_2_=_4___; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_x_<_-2_或__x_>__4__; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_-_2_<_x_<_4___y.
O2 4 x
二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
合作探究
例3 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 __x_1=_-_1， x_2=_3___; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_x_<_-_1_或__x_>_3__;
y
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_-_1_<_x_<_3___.
-1 O 3 x
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
(2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
(3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0;
x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 x≠2的一切实数 x无解 x无解 x无解
义务教育教科书 数学 九年级 上册
第二十二章
二次函数
22.2二次函数与一元二次方程
引入
请解出下列一元二次方程
① x2＋x－2=0
x1=-2, x2=1
②x2－6x＋9=0
x1=x2=3
③ x2－x＋1=0
无实数根
y= x2＋x－2 y = x2－x＋1 y=x2－6x＋9 y = x2＋x－2
y = x2－x＋1