三角形中位线和梯形中位线
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华东师大版九年级数学下册第27章证明
27.5中位线
三角形中位线和 A 梯形中位线
D
E
(2)
金塔镇中学初三备课组
B
F
C
巩固练习
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
思考：
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
??
1、梯形中位线：
梯形两腰中
点的连线叫做梯 形的中位线。
A E
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点C的线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
AN =EN AD=CE
1
MN= BE
即：MN= 1 (BC+CE)
2
2
MN= 1 (AD＋BC) 2
梯形的中位线
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于
两底和的一半
A
D
∵AD ∥BC AM＝MB,DN＝NC
M
N
∴ MN ∥ BC MN＝1（BC＋AD）
B
C
（梯形的中位线平行于两底，
并且等于2 两底和的一半）
A
D
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线
于G.
E
F
略证:
B
HC
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
A
D
证明： AC⊥BD ∠AOD= 90 °
o
M
N
AD ∥BC ∠ADO= ∠ 1
∠ADO= 30°
∠1= 30 °
1
B
C
1
AO= AD
2
AO+CO=
1
(AD+BC)
即：
AC=
1
(AD+BC)
同理： CO= 1 BC
2
2
MN是梯形ABCD的中位线
2
1
MN= (AD+BC)
2
AC＝MN
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
D
简要分析：
E
G
F
B
C
根据题意可知：AD=AB=DC=
1 2
BC，所以要求
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。
设AD=AB=DC=x，则BC=2x.
∵ EF=
12（AD+BC），∴15=
3 2
x，
∴x=10，
∴梯形周长为50㎝.
思维拓展
如图，等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, EF为中 位线, DH是梯形的高. 求证:EF=DH.
4
2
4
解 得 ： x=60
1 10+ x
2
∴ 其它四根横木的长度分别为
30cm , 40cm , 50cm , 60cm
x
1 15+ x
4 3 5+ x 4
??
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
梯形的中位线
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC
求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
A
D
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
AD ∥BC 即: AD ∥BE
M
N
∠DAN=∠E
∠AND=∠ENC DN=CN
△ADN ≌ △ECN
B
CE
AM=BM
MN ∥ BE 即： MN ∥ BC
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
证明：过点D作DE ∥AC交BC延长于点E
A
D
DE ∥AC ∠BDE= ∠ AOD
∠BDE=90 °
AC⊥BD
∠BDE= 90 °
∠1=30 °
DE= 1BE 即：DE= 1 (CE+BC)
2
2
AD ∥BC 即：AD ∥CE
DE＝AC
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
矩形
思考：
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
正方形
平行四边形
菱形
思考：
梯形的中位线
一、填空：
1、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC 中位线EF分别交BD、AC于点M、N，
若AD＝4cm，BC＝8cm，则EF＝ 6 cm，EM＝ 2 cm，MN＝ 2 cm
A4 D
E
F
MN
B
8
C
A 8D
2、已知：梯形上底为8,中位线为10, M
高为6，下底＝12 面积＝ 60
B
10 N 6
E
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
பைடு நூலகம்形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
证：AC＝MN
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
AED
AED
E
F
A
B
F
C
不是中位线
B
C
不是中位线
D
C 是F中位线
梯形的中位线
一堆粗细均匀的钢管，堆成三层， 上层为3根，中层为5根，下层为7根
这三层钢管之 间有何关系呢?
2、梯形中位线定理
A
D
E
F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
（7）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
梯形的中位线
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横 木共200cm，其中最上端的横木长为20cm， 求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离 相等）
DE ∥AC
CE＝AD
MN是梯形ABCD的中位线
o
M
N
1
B
CE
1
AC= (AD+BC)
2
AC＝MN
1
MN= (AD+BC)
2
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横
木共200cm，其中最上端的横木长为20cm，
求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离
相等）
1
1
3
20
20+15+ x+10+ x+5+ x+x=200
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什 么?
答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长也 相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形而 不是梯形.
如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位
线，且EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC.
求梯形的周长.
A
27.5中位线
三角形中位线和 A 梯形中位线
D
E
(2)
金塔镇中学初三备课组
B
F
C
巩固练习
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
思考：
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？
??
1、梯形中位线：
梯形两腰中
点的连线叫做梯 形的中位线。
A E
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
梯形的中位线
A
D
E
F
连结梯B 形两腰中点C的线段叫做梯形的中位线
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是各对应边
AN =EN AD=CE
1
MN= BE
即：MN= 1 (BC+CE)
2
2
MN= 1 (AD＋BC) 2
梯形的中位线
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于
两底和的一半
A
D
∵AD ∥BC AM＝MB,DN＝NC
M
N
∴ MN ∥ BC MN＝1（BC＋AD）
B
C
（梯形的中位线平行于两底，
并且等于2 两底和的一半）
A
D
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线
于G.
E
F
略证:
B
HC
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
A
D
证明： AC⊥BD ∠AOD= 90 °
o
M
N
AD ∥BC ∠ADO= ∠ 1
∠ADO= 30°
∠1= 30 °
1
B
C
1
AO= AD
2
AO+CO=
1
(AD+BC)
即：
AC=
1
(AD+BC)
同理： CO= 1 BC
2
2
MN是梯形ABCD的中位线
2
1
MN= (AD+BC)
2
AC＝MN
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
D
简要分析：
E
G
F
B
C
根据题意可知：AD=AB=DC=
1 2
BC，所以要求
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。
设AD=AB=DC=x，则BC=2x.
∵ EF=
12（AD+BC），∴15=
3 2
x，
∴x=10，
∴梯形周长为50㎝.
思维拓展
如图，等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直, EF为中 位线, DH是梯形的高. 求证:EF=DH.
4
2
4
解 得 ： x=60
1 10+ x
2
∴ 其它四根横木的长度分别为
30cm , 40cm , 50cm , 60cm
x
1 15+ x
4 3 5+ x 4
??
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
梯形的中位线
已知:如图，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN＝NC
求证：MN ∥ BC，MN＝（1 BC＋AD）
2
A
D
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E
AD ∥BC 即: AD ∥BE
M
N
∠DAN=∠E
∠AND=∠ENC DN=CN
△ADN ≌ △ECN
B
CE
AM=BM
MN ∥ BE 即： MN ∥ BC
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
证明：过点D作DE ∥AC交BC延长于点E
A
D
DE ∥AC ∠BDE= ∠ AOD
∠BDE=90 °
AC⊥BD
∠BDE= 90 °
∠1=30 °
DE= 1BE 即：DE= 1 (CE+BC)
2
2
AD ∥BC 即：AD ∥CE
DE＝AC
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
矩形
思考：
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是什 么？
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是什么？
正方形
平行四边形
菱形
思考：
梯形的中位线
一、填空：
1、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC 中位线EF分别交BD、AC于点M、N，
若AD＝4cm，BC＝8cm，则EF＝ 6 cm，EM＝ 2 cm，MN＝ 2 cm
A4 D
E
F
MN
B
8
C
A 8D
2、已知：梯形上底为8,中位线为10, M
高为6，下底＝12 面积＝ 60
B
10 N 6
E
C
梯形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直
相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：
AC＝MN
A
D
o
M
N
??
1
B
C
பைடு நூலகம்形的中位线
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂
直相交于点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求
证：AC＝MN
上的中点，其中，EF是梯形中位线的有哪几个？B
AED
AED
E
F
A
B
F
C
不是中位线
B
C
不是中位线
D
C 是F中位线
梯形的中位线
一堆粗细均匀的钢管，堆成三层， 上层为3根，中层为5根，下层为7根
这三层钢管之 间有何关系呢?
2、梯形中位线定理
A
D
E
F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
（7）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
梯形的中位线
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横 木共200cm，其中最上端的横木长为20cm， 求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离 相等）
DE ∥AC
CE＝AD
MN是梯形ABCD的中位线
o
M
N
1
B
CE
1
AC= (AD+BC)
2
AC＝MN
1
MN= (AD+BC)
2
有一个木匠想制作一个木梯，共需5根横
木共200cm，其中最上端的横木长为20cm，
求其它四根横木的长度。（每两根横木的距离
相等）
1
1
3
20
20+15+ x+10+ x+5+ x+x=200
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什 么?
答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长也 相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形而 不是梯形.
如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位
线，且EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC.
求梯形的周长.
A