毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用

毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用

摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。

一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件： （I ）y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,：上连续； （II ）0),(00=y x F （通常称为初始条件） （III ）对D y x ∈∀),(，恒有0),(y ≠y x F ； （IV ）在D 上

)

,()

,(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y ：即对D 上任意两点),(),(21y x y x ，，不等式

212y 2x 1y 1x )

,()

,(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F －－≤ (1)

恒成立，L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数（常数Lipchitz ）。 则在区间0),(0＝上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ϕ=，满足)(00x y ϕ＝。这个函数在h x x ≤-0上连续可微。其中

},

min{M

b

a h = ……（2） )

,()

,(max

y x ),(y x F y x F M D

y x ∈= (3)

证明：若0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ϕ=，则有

0))(,(＝x y x F ,方程两边对x 求导，得

0·'=+y F F y X 。

由0≠y F ，得 )

,()

,(y x '

y x F y x F y ＝－

。

因此，0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能确定唯一可导的隐函数)()(00x y x y ϕϕ＝且=，等价于

初值问题

)

,(),(0))(,(y x '00{

y x F y x F y x y x F ＝－

= ……（*） 在h x x ≤-0上有唯一解)()(00x y x y ϕϕ＝且=。

简记)

,()

,(),(y x y x F y x F y x f －

= ，下面分4段证明之。

（1） 构造一个近似解的序列。

用 0y y = ……（4） 代替),(y x f 中的y ，则

),(0'y x f dx

dy

y =＝

……（5） 其右边是上在a x x x ≤-0的已知函数，对（5）两边积分（显然),(y x f 在D 上连续，故可积），并令它满足 0))(,(00=x y x F 于是得到 ⎰

+=x

x dt y t f y x y 0

),()(00 (6)

它区间a x x ≤-0上连续。

一般来说，它并不正好是（*）的解，称它为（*）的第1次近似解，记为

⎰+=x

x dt y t f y x y 0

),()(001 (7)

并称（4）为（*）的第0次近似解。

现在估算由（7）确定的函数)(1x y 的界限：

000010

),(),()(x x M Mdt dt y t f dt y t f y x y x

x x

x x

x -≤

≤

⎰

⎰

⎰＝＝－ (8)

所以，当h x x ≤-0时，有b Mh x x M ≤≤-0，即有b y x y ≤01)(－。

这就推知，当h x x ≤-0时，D x y x ∈))(,(1，于是))(,(1x y x f 有定义，并且是x 在h x x ≤-0 上的连续函数。

考虑))(,(0

))(,(100{

x y x f dx

dy

x y x F == 得到第2次近似解

⎰

+

=x

x dt y t f y x y 0

),()(102

同理可证，当h x x ≤-0时，有b y x y ≤02)(－，即D x y x ∈))(,(2 如此下去，可得到第n 次近似解:

⎰

-+=x

x n n dt y t f y x y 0

),()(10 (9)

易知当h x x ≤-0时有

b x x M Mdt dt y t f dt y t f y x y x

x x

x n x x n n ≤-≤

≤

⎰

⎰

⎰--01100

),(),()(＝＝－ (10)

从而D x y x n ∈))(,(。由归纳法，定义了无穷序列

0y , )(1x y ,)(2x y , …，)(x y n ，… ……（11） 每个函数在h x x ≤-0连续，且D x y x n ∈))(,(， （n ＝0，1，2，……） （2）· 证明{)(x y n }在h x x ≤-0上一致收敛。 当h x x ≤-0时， ⎰----x

x n n n n dt t y t f t y t f x y x y 0))(,())(,()()(211＝－

≤

⎰

--x

x n n dt t y t y L 0

)()(21－ (n=2,3,......) (12)

由数学归纳法易证明

)()(1x y x y n n -－≤n!

)

(·

0n

x x L L M - ……（13） 事实上，当n=1时，由（8）知（13）成立；

假设，当n=k 时成立，即 )()(1x y x y k k -－≤k!

)

(·

0k

x x L L M - 则由（12）知

⎰

-+≤

x

x k k k k dt t y t y L x y x y 0

)()()()(11－－

≤

⎰-x

x k

dt x t L k M

0)(!

0＝)!1()

(·1

0+-+k x x L L M k 即证明了（13）当n=k+1时也成立。

由（13），当h x x ≤-0时，有≤-)()(1x y x y n n －!

)(·n Lh L M n

易知，正项级数∑∞

=1

!)(·n n

n Lh L M 收敛，由M -判别法知级数()∑∞

=-11)()(n n n x y x y －在

h x x ≤-0上一致收敛。即{})(x y n 在h x x ≤-0上一致收敛，将其极限函数记为)(x ϕ

即 )()(lim x x y n n ϕ=∞

→， h x x ≤-0 (14)