1.1.1 任意角(优秀经典公开课比赛课件)
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【公开课课件】人教版高中数学必修4：1.1.1任意角课件(共14张PPT)
1.1.1 任意角
学习目标
▪ 知识与技能： ▪1. 通过实例和抽象概括，理解任意角的概念； ▪2. 理解象限角的概念及其表示，会用集合表示区 域角; ▪3. 掌握终边相同的角的概念及其表示方法.
学习目标 ▪ 过程与方法：通过画图和判断角的象限，培养学 生数形结合的思想方法；提高学生的计算能力和 类比思维能力.
位置OB,就形成角α .旋转开始时的射线OA叫作角α 的始 边, OB叫作角α 的终边, 射线的端点 O叫作角α 的顶点.
如图所示．
(2)规定：按逆时针方向旋转形成的角叫作正角, 按顺时 针方向旋转形成的角叫作负角.如果一条射线没有做任 何的旋转，则称它形成了一个零角.
当堂检测4.时钟的分针所转的角是正角还是负角?经过 下列时间分针所转的角各是多少度？
(1)12分钟；(2)2小时15分钟.
建立直角坐标系，使角的顶点与原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴重合.
(1)象限角：角的终边在第几象限，就说这个角是第 几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个 角不属于任何一个象限。
(2)终边相同的角：在直角坐标系中，角的终边绕原 点旋转360 °后回到原来的位置。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一 个集合S={β|β=α+k ·360 °,kϵZ}, 即任一与角α终边相 同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
1.设E={小于90 °的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}， M={小于90 °但不小于0 °的角}，那么( )
例1.已知α=-1910 °. (1)把α写成β+k ·360 °(kϵZ, 0 °≤ β <360 °)的形式,并指出它 是第几象限角；(2)求θ ,使θ与α的终边相同,且-720°≤ θ <0 °.
学习目标
▪ 知识与技能： ▪1. 通过实例和抽象概括，理解任意角的概念； ▪2. 理解象限角的概念及其表示，会用集合表示区 域角; ▪3. 掌握终边相同的角的概念及其表示方法.
学习目标 ▪ 过程与方法：通过画图和判断角的象限，培养学 生数形结合的思想方法；提高学生的计算能力和 类比思维能力.
位置OB,就形成角α .旋转开始时的射线OA叫作角α 的始 边, OB叫作角α 的终边, 射线的端点 O叫作角α 的顶点.
如图所示．
(2)规定：按逆时针方向旋转形成的角叫作正角, 按顺时 针方向旋转形成的角叫作负角.如果一条射线没有做任 何的旋转，则称它形成了一个零角.
当堂检测4.时钟的分针所转的角是正角还是负角?经过 下列时间分针所转的角各是多少度？
(1)12分钟；(2)2小时15分钟.
建立直角坐标系，使角的顶点与原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴重合.
(1)象限角：角的终边在第几象限，就说这个角是第 几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个 角不属于任何一个象限。
(2)终边相同的角：在直角坐标系中，角的终边绕原 点旋转360 °后回到原来的位置。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一 个集合S={β|β=α+k ·360 °,kϵZ}, 即任一与角α终边相 同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
1.设E={小于90 °的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}， M={小于90 °但不小于0 °的角}，那么( )
例1.已知α=-1910 °. (1)把α写成β+k ·360 °(kϵZ, 0 °≤ β <360 °)的形式,并指出它 是第几象限角；(2)求θ ,使θ与α的终边相同,且-720°≤ θ <0 °.
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
1.1.1任意角PPT优秀课件
150的角与210的角终边相同， 是第三象限角
(3) 99015（3） 360 8945
99015的角与8945的角终边相同，
是第一象限角
反思研究： 如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k3 6 0 (0 3 6 0)即可
变题:已知 与2 4 0 角的终边相同,判断 是第几
136030330,03603030
136030390.
（2）S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }
S中适合360 720的元素是：
03602121,136021339
236021699.
（3）S {| k 3 6 0 3 6 3 1 4 ,k Z }
3.象限角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系.这样, 角的 终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第 几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,该角不属于 任何象限,习惯上称这个角为轴线角.
4.与角 终边相同的角的集合为：
| k 3 6 0 ,k Z
谢谢各位指导!
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（4）与角 终边相同的角的集合：
| k3 6 0 ， k Z
课堂作业：P10
习题1.1
(1)(2)
课后研学:
1.下列各命题:
(1)相等的角终边一定相同;
(2)终边相同的角一定相等;
(3) 99015（3） 360 8945
99015的角与8945的角终边相同，
是第一象限角
反思研究： 如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k3 6 0 (0 3 6 0)即可
变题:已知 与2 4 0 角的终边相同,判断 是第几
136030330,03603030
136030390.
（2）S {| k 3 6 0 2 1 ,k Z }
S中适合360 720的元素是：
03602121,136021339
236021699.
（3）S {| k 3 6 0 3 6 3 1 4 ,k Z }
3.象限角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系.这样, 角的 终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第 几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,该角不属于 任何象限,习惯上称这个角为轴线角.
4.与角 终边相同的角的集合为：
| k 3 6 0 ,k Z
谢谢各位指导!
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
（4）与角 终边相同的角的集合：
| k3 6 0 ， k Z
课堂作业：P10
习题1.1
(1)(2)
课后研学:
1.下列各命题:
(1)相等的角终边一定相同;
(2)终边相同的角一定相等;
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
《任意角》精品课件 公开课课件
语文
小魔方站作品 盗版必究
湖南省长沙市一中卫星远程学校
“同课异构”杯2020年度教学技能大赛
一等奖获奖作品
湖南省长沙市一中卫星远程学校
1.1.1任意角
主讲老师：陈震
复习引入
角的定义
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角.
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面 内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形．
角的和．
注意 ⑴ k∈Z；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
例2．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
⑴60°； ⑵120°；⑶240°；
⑷300°；⑸420°；⑹480°.
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
所有与角终边相同的角， 连同在内，可构成一个集合 S＝{| =+k·360 °, k∈Z }， 即任一与角终边相同的角， 都可以表示成角与整数个周
⑷ 角＋k·720 °与角终边相同，但 不能表示与角终边相同的所有角．
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1.1.1任意角
主讲老师：陈震
复习引入
角的定义
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角.
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面 内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形．
角的和．
注意 ⑴ k∈Z；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
例2．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
⑴60°； ⑵120°；⑶240°；
⑷300°；⑸420°；⑹480°.
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
所有与角终边相同的角， 连同在内，可构成一个集合 S＝{| =+k·360 °, k∈Z }， 即任一与角终边相同的角， 都可以表示成角与整数个周
⑷ 角＋k·720 °与角终边相同，但 不能表示与角终边相同的所有角．
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
任意角的概念 公开课一等奖课件
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到
360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ C ） A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
9、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在 [0º ,360º ]范围内，终边与角 的终边相同的角
3
为______________; 解：β=k· 360º +60º ，k∈Z. 所以
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语14பைடு நூலகம்分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
解：⑴∵－120º =－360º +240º ， ∴240º 的角与－120º 的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640º =360º +280º ， ∴280º 的角与640º 的角终边相同， 它是第四象限角．
任意角公开课省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
22/31
思索：2、终边落在象限内角集合怎样表示？
23/31
第一象限：
{α|k·3600<α< 900+k·3600 ，k∈Z}
第二象限：
{α|900+k·3600<α<1800+k·3600 ，k∈Z}
第三象限：
{α|1800+k·3600<α< 2700+k·3600 ，k∈Z}
第四象限：
{α|2700+k·3600<α< 3600+k·3600 ，k∈Z}
1.1.1 任意角
1/31
学习目标
1、了解正角，负角，零角，象限角；2、会判断角属于哪个象限；3、终边相同角怎样表示？4、终边落在象限内角怎么表示？
2/31
初中角是怎样定义？
定义：有公共端点两射线组成几何图形叫角
【复习回顾】
角范围：[0o,360o)
3/31
生活中很多实例会不在该范围：
关键是用运动观点来对待角改变。
2)始边重合于X轴非负半轴
2.象限角
终边落在第几象限就是第几象限角
3.终边与角ａ相同角
4：判断一个角是第几象限角方法
29/31
你完成本节课学习目标了吗？
1、了解正角，负角，零角，象限角；2、会判断角属于哪个象限；3、终边相同角怎样表示？4、终边落在象限内角怎么表示？
30/31
作业
31/31
15/31
练习3：在0º ～ 360º范围内，找出与以下各角 终边相同角，并判断它是哪个象限角.
（1）-120°（2）640°（3） -950o
解：（1）-120°=-360°+240°所以与-120°角终边相同角是240°，它是第三象限角。
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3.终角相同的角的集合
(1)研究终边相同的角的前提条件是， 角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非 负半轴重合。
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α
在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360˚， k Z}，即任一与角α终边相同的角，都可 以表示成α与整数个360˚的和。
(3)明确以下几点: ①k为整数;②为 任意角;③k 360与之间用“”号连接,
(2)若将钟表拨慢10分钟，则时针转 了多少度？分针转了多少度？
2.从任意角的概念去认识角
[例2] 给出下列命题： ①终边相同的角一定相等； ②如果角α的终边落在第二象限，则角 α为钝角； ③锐角是第一象限角； ④小于90˚的角一定是锐角。 其中正确命题的序号是______(请你把 认为正确的命题的序号都填上)。
y
30
y 45
Ox
210
O
x
315
5.由角α所在的象限，探究 ,
23
及2α等角所在的象限
[例5] 已知角是第二象限角, 试求 : (1)角 所在的象限;
2
(2)角 所在的象限.
3
3.象限角和终边相同的角的问题
[例3] 已知 1910 (1)把写成 k 360(k Z,0
360)的形式,指出它是第几象限的角;
(2)求 ,使与的终边相同,且 720 0.
4.角的终边落在直角坐标系内指定 区域的角的集合的表示
[例4] 如图①、②,分别写出图中阴影 区域表示的角的集合(包括区域的边界线).
如k 360 30应看成是k 360 (30); ④终边相同的角不一定相等，但相等的 角 终 边 一 定 相 同; ⑤ 终 边 相 同 的 角 有 无 数 多 个, 它 们 相 差360的 整 数 倍.
1.正负角的基本概念
[例1] (1)钟表经过10分钟，时针转 了多少度？分针转了多少度？
1.1.1Leabharlann 任 意 角教学目标：(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理 解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“ 终边相同的角”的含义．
1.角的概念的推广
角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。旋转开始时的射线OA叫做角的始 边，旋转终止时的射线OB叫做角的终 边，射线的端点O叫做角的顶点。
(1)正角：按逆时针方向旋转形成的 角叫做正角；
(2)负角：按顺时针方向旋转形成的 角叫做负角；
(3)零角：如果一条射线不旋转，那 么称它形成了一个零角，即零角的始边 与终边重合。
2.象限角与轴上角
在直角坐标系中，我们使角的顶点 与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴 重合，那么角的终边落入第几象限，就 说这个角是第几象限角，落在坐标轴 上，则称这个角是轴上角，也叫象限界 角，它是不属于任何象限的特殊角。