一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文

阶线性微分方程的研究与应用

摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。

关键词：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程

引言

对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。

微分方程

微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，形如

般)"

的方程，称为一阶线性微分方程。

1、变量变换方法

形如的方程，称为变量分离方程，这里的

(1-1)

f(x))g(y)分别x, y的连续函数.

如果g(y) 土0,我们将(1-1)改写成= f(x)dx,两边积分得，gCy)

(1-2)

其中c任意常数。

例1求方程

£=pa)y

的通解，其中P(X)是x的连续函数。

解将变量分离，得到

In |y|= / p(x) dx+ C

这里c 是任意常数, 由对数定义，即有

将变量分离，得到 y d y=-x d x,

两边积分，即得

因而，通解为 y=

dy y

丄 y

例3 求解方程〒=-+tan- dx X X y

dy du 解 这是齐次微分方程，以- =U 及子=X —+u 代入，则原方程变为

K dx dx du I

^+u=u+anu

du

tan u dx

X

将上式分离变量，即有 cot udu =—

X

两边积分，得到

|y|= y= 求解方程 生一 ¥ dx y

g/ p(x)dx+c ±gCgJ p(x)dx

两边积分，即得

—=p(x)dx

y

c

—一+一 2 2

这里c 是任意正常数。 或者解出y,写出显函数形式的解

n I sm U l = n | x| +c,

这里F 是任意常数，整理后得到原方程的通解为

rfn- = CX

X

例4求方程X +2jxy =y (x<0)

其中c 是任意常数。

即得原方程的通解

及解

2、常数变易法

y=0

(in (=x) + c < 0

解将方程改写为半

dx

y 以一= K

dy dp P 及子=x 〒 + (LI 代入，则原方程变为 dx OX dp J — 临=2JP (1-3)

分离变量,

du dx

两边积分, 得到(1-3)的通解

Jp- = ln(-x) + c

于是

.2

p = In(-x) + c

(In (-x)+c>0)

l2

y = X In C-x) + c

(ln(=x) + c > 0)

+ - (x<0) X

例1 求方程空=丄访的通解。

dx 2x=y^

解 原方程不是未知函数y 的线性微分方程，但我们可将它改写为

dx 2x - y2

dy y

dx 2

把x 看作未知函数，y 看作自变量，首先，求出齐次线性微分方程

dx 2

爲=尹

的通解为

x=c

其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程（1）的通解。把c 看成 cCy ）

,微分⑵，得到

代入（1）,得到

dy

积分之，即可求得

c(y) = -ln|yl +c

从而，原方程的通解为

X 于2(E - In II y II)

这里的c 为任意常数。

例1 求解方程y d x+(y-x)d y=0.

dx

dy 讐 y2 + 2c(y)y ,

3、 积分因子法

△A JV n ■ I

,N=y-x,—二1, — = — 1，方程不是恰当的。

3y o x

2

=—-只与y有关，故方程有只与y有关的积分因子y

以P = W乘方程两边，得到

y

Ydx—xdy dy

因而，通解为

一阶微分方程的应用

一般来说，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤:

I、建立方程对所研究的问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初值条件

n、求解方程

m、分析问题

通过已求得的解的性质，分析实际问题。

应用一：等角轨线

求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线.等角轨线在其它很多学科（如天文、气象等）中都有应用.下面就来介绍求等角轨线的方法.

应用二：动力学问题

前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式，的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数一一速度的关系.只要找到这个关系，就可以由f=ma列出微分方程了.

在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解

因为

3N

ay dx

-M