向量法解决立体几何的综合问题

空间向量在
练习：
立几中应用
已 知 二 面 角 - A B - 为 1 2 0 0 ， A C ， B D ，
且 A C A B ， B D A B ， A B = A C = B D = 1 ，
(1)、求CD的长
(2)、CD与AB所成的角
空间向量在
立几中应用
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两 向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须 把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题 正遵循了这一规律
本题多次运用了封闭回路
空间向量在
立几中应用
三、利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量，有 点面间的距离、异面直线间的距离、面面 （平行关系）间的距离等，利用常规方法 求距离，需要较强的转化能力，而用向量 法则相对简单
空间向量在
立几中应用
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
Z
D
C
B A
D1 A1
X
C1 Y
B1
空间向量在
评述：
立几中应用
此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数 的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性
平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离
向量法解决立体几何的综合问题
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
空间向量在
立几中应用
例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD， AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求 AD与BC所成的角
空间向量在
评述：
立几中应用
注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹 角的关系：相等或互补
点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面
BB1C1C、平面ABCD的中心
（1）求证：B1O3⊥PA
Z
D1 O1
C1
A1
B1
P
O2
D
C
A
O3
Y B
X
空间向量在
立几中应用
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中
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点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面
BB1C1C、平面ABCD的中心
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（2） 求异面直线PO3与O1O2Z成的角
D1 O1
C1
A1
B1
P
O2
D
C
A
O3
Y B
X
空间向量在
立几中应用
小结
本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决 立体几何问题，但在学习中应把几何综合推 理与向量代数运算推理有机结合起来 向量代数推理是更加精练，严密的推理，每 一步都要根据运算法则进行 学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法， 开拓思路