正弦函数的图像与性质PPT

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sin (2x )，x∈[0，]的值域.
3
2
(2)配方⇒确定sinx的取值范围⇒求二次函数的值域.
【解析】(1)因为0≤x≤ ,所以0≤2x≤π,- ≤
2
3
2x- ≤ ,2令 2x- =t,则原式转化为y=sint,t∈ [ ，2]．
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3
33
由y=sint的图像知- 3≤y≤1,
2
所以原函数的值域为[ 3，1]．
1.点 M( ,m) 在函数y=sinx的图像上,则m的值为( )
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A. 1
B. 2
C. 3
D.1
2
2
2
【解析】选B.将 ( ,m)代入y=sinx中,得m= sin 2 .
4
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2.下列两种说法:①y=sinx在 [2k ，2k] (k∈Z)上是
2
增加的;②y=sinx在第一象限内是增加的 ( )
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类型一 “五点法”作正弦函数的图像 【典例】利用“五点法”作出y=1+sinx(x∈[0,2π]) 的简图.
世纪金榜导学号70034018 【审题路线图】按照正弦函数的五个关键点列表⇒在坐 标系中描出五个点⇒用平滑的曲线连接五个点.
【解析】按五个关键点列表:
x sinx
0
2
π
3 2π
2
0 1 0 -1 0
世纪金榜导学号70034019
【审题路线图】 1.利用诱导公式把已知角化到正弦函数的单调区间内⇒ 确定函数的单调性和角的大小⇒比较三角函数值的大小. 2.确定正弦函数y=sinx的单调区间⇒求函数y=-2sinx1的单调区间.
【解析】1.(1)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°, cos156°=cos(180°-24°)=-cos24°=-sin66°, 因为0°<16°<66°<90°,所以sin16°<sin66°. 从而-sin16°>-sin66°,即sin196°>cos156°.
4
的自变量x的值,并求出函数的最值.
【解析】(1)当x=2kπ- (k∈Z)时,
2
ymax=-2×(-1)+1=3,
当x=2kπ+ (k∈Z)时,
2
ymin=-2×1+1=-1,
所以函数y=-2sinx+1的值域为[-1,3].
(2)令t=sinx,则-1≤t≤1.
y t2＋ 3t＋5 (t 3 )2＋2.
2
2
所以y=-2sinx-1在[2k＋，2k(＋k∈3 Z] )是增加的.
2
Baidu Nhomakorabea
2
【方法技巧】 1.利用函数的单调性比较大小的步骤 (1)先将异名化同名,即统一为正弦函数. (2)将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单 调区间. (3)利用单调性来比较大小.
2.求三角函数单调区间的方法 确定正弦函数单调区间的基本思想是整体换元思想.若 x的系数为负,通常利用诱导公式化为正数再求解.有时 还应兼顾函数的定义域.
2
2
k∈Z是减少的.
所以 2k＋ 1 x＋ 2k＋3 ，k Z，
223
2
所以 4k 7 x 4k ，k Z，
3
3
所以函数的单调递减区间为[4k 7 , 4k ]，
3
3
k∈Z.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.
提示:在求单调区间时忽视了括号内x系数中的负号,错 将 1 x＋代入正弦函数减区间,正确解法应先将x的系
4
2
所以当t= 23时,ymax=2.
此时sinx= 3,
2
即x=2kπ+ 或x=2kπ+2(k∈Z).
3
3
当t=-1时,ymin=14 3. 此时sinx=-1,即x=2kπ+3 (k∈Z).
2
【补偿训练】函数y=asinx+b(a<0)的最大值为( )
A.a+b
B.a-b
C.-a-b
D.b-a
§5 正弦函数的图像与性质
1.正弦函数的图像
(1)“五点法”画图:在精确度要求不太高时,我们可以 找出正弦曲线上的(0,0),(_2_,_1)__,_(_π__,_0_)_,_( 3_2_,__1_) , (2π,0)五个关键点画出正弦函数在一个周期上的图像.
(2)正弦曲线:将函数y=sinx(x∈[0,2π])的图像向 左、向右平行移动(每次平移_2_π__个单位长度),就可以 得到正弦函数y=sinx(x∈R)的图像._正__弦__函__数__的图像 叫作正弦曲线.
3
3
所以函数的单调递减区间为[4k , 4k 5 ]，k Z.
3
3
2.正弦函数的性质
性质
函数
图像
定义域 值域
奇偶性
y=sinx
R _[_-_1_,_1_]_ _奇__函__数__
函数 性质
y=sinx
周期性 单调性
周期函数,最小正周期为_2_π__ 在每一个区间_[_2k____2_,_2_k___2_]_(k___Z_)_ 上是增加的; 在每一个区间_[2_k____2_,_2k____32__](_k___Z_) _ 上是减少的
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D.[ 3，1]
2
【解析】选B.当x= 时,y有最大值1,当x= 时,y有最
2
6
小值 1 .
2
4.在[0,2π]上,满足sinx≥ 2 的x的取值范围为
2
________.
【解析】可画出y=sinx,x∈[0,2π]的图像或单位圆,
由图知所求范围为 [ ，3 ] .
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答案: [ ，3 ]
1+sinx 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示).
【延伸探究】 本例中函数改为y=3-sinx(x∈[0,2π]),用五点法画出 其图像.
【解析】(1)列表:
x sinx
0 π 3
2π
2
2
0 1 0 -1 0
3-sinx 3 2 3 4
3
(2)描点,连线,如图所示.
【方法技巧】“五点法”作图中“五点”的含义
【拓展延伸】正弦曲线的简单变换 (1)函数y=-sinx的图像与y=sinx的图像关于x轴对称. (2)函数y=sinx与y=sinx+k的图像间的关系. 当k>0时,把y=sinx的图像向上平移k个单位得到函数 y=sinx+k的图像; 当k<0时,把y=sinx的图像向下平移|k|个单位得到函数 y=sinx+k的图像.
2.求正弦型函数最值的常用方法 (1)形如y=asinx的函数的最值要注意对a的讨论. (2)形如y=asin2x+bsinx+c的函数可以通过换元,把函 数化为二次函数求值域. 提醒:换元后忽视新元范围的确定是易错点.
【变式训练】(1)求使函数y=-2sinx+1取得最大值和最
小值的自变量x的集合,并写出其值域. (2)求使函数y= sin2x＋ 3sin x＋5 取得最大值和最小值
(2)因为1< <2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)
2
=sin3.
0<π-3<1<π-2< 且y=sinx在(0, )上递增,
2
2
所以sin(π-3)<sin1<sin(π-2),即sin3<sin1<sin2.
2.由于y=sinx在[2k＋，2k(＋k∈3 Z] )是减少的,
A.均正确
B.①正确、②不正确
C.②正确、①不正确
D.都不正确
【解析】选B.单调性是针对某个取值区间而言的,所以 ①正确;②不正确,因为在第一象限,即使是终边相同的 角,它们也相差2π的整数倍.
3.y=sinx,x∈[ ，2 ]的值域为 ( )
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A.[-1,1]
B.[ 1 ，1]
2
C. [1， 3 ]
提醒:五点法中的五点分别是函数图像的两个最值点及 三个与x轴的交点.
(3)正弦函数的性质 ①正弦函数的定义域为R.值域为[－1,1],奇函数,可以 由函数的图像直观得到. ②正弦函数的单调性可以由图像上升、下降的特点得 到,一般的方法是先写出[0,2π]上的单调区间,再加周 期2kπ即可.
【自我检测】
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数利用诱导公式化为正数后,再代入相应单调区间求解.
【自我纠正】y=sin( 1 x ) sin( 1 x ).
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23
设 v 1 x ，
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因为y=-sinv在[2k , 2k ]，
2
2
k∈Z是减少的,
所以 2k 1 x 2k＋，k Z，
22 3
2
所以 4k x 4k＋5 ，k Z.
2
(2)y=-2sin2x+5sinx-2=2sin (x 5 )2＋9 .
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因为-1≤sinx≤1,所以ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9, ymax=-2×12+5×1-2=1. 故函数y=-2sin2x+5sinx-2的值域是[-9,1].
【方法技巧】 1.关于正弦函数在定区间上的值域 求正弦函数在定区间上的值域时,首先要考查正弦函数 在该区间上是否单调,若是单调函数,则直接代入端点 值即可;若不是单调函数,则要结合图像,确定正弦函数 在该区间上的最高点、最低点后再求最值.
【变式训练】比较 sin( 3 )与sin( 13 ) 的大小.
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【解析】因为 sin( 3 ) sin 3 .
5
5
sin( 13 ) sin(2＋5 )
4
4
sin 5 ， 4
由于 3 5 3 ，
25 4 2
且y=sin x在 (，3上)单调递减，
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所以 sin 3 sin 5 ，
【点拨】 (1)正弦函数图像的作法 五点法:它是我们作三角函数图像的基本方法,在要求 精确度不太高的情况下常用此法,作图时要注意五个关 键点的选择.
(2)利用“五点法”作图时需要注意的三点 ①应用的前提条件是精确度要求不高. ②利用光滑的曲线连接时,最高(低)点的附近要平滑, 不要出现“拐角”的现象. ③“五点法”作出的正弦函数一个周期上的图像是正 弦曲线的一部分.
【解析】选D.由题意可知:当sinx=-1时,
函数y=asinx+b(a<0)取到最大值-a+b.
【核心素养培优区】 【易错案例】求单调区间时忽视x前系数正负致误 【典例】求函数y= sin( 1 x ) 的单调递减区间.
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【失误案例】设v= 1 x .
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因为y=sinv在[2k ，2k 3 ]，
【变式训练】函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图像 是( )
【解析】选B.把函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像关于x轴 对称后再向上平移1个单位即可得到y=1-sinx,x∈[0, 2π]的图像.
类型二 正弦函数的单调性及应用 【典例】1.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的 大小. (1)sin196°与cos156°. (2)sin1,sin2,sin3. 2.求函数y=-2sinx-1的增区间.
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所以 sin 3 sin 5 ，
5
4
即 sin( 3 ) sin(13)．
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类型三 正弦函数的最值(值域)问题
【典例】求下列函数的值域. 世纪金榜导学号
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(1)y=sin (2x )，x∈[0，].
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(2)y=-2sin2x+5sinx-2.
【审题路线图】
(1)由x的取值范围⇒2x- 的取值范围⇒函数y=