计数枚举法经典例题讲解

计数枚举法经典例题讲解

例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）

解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。

十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。

10+10=20（个）

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C

第二种走法：A ① B ⑤ C

第三种走法：A ② B ④ C

第四种走法：A ② B ⑤ C

第五种走法：A ③ B ④ C

第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法

例3 9○13○7=100

14○2○5=□

把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）

解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。

先看第一个式子：9○13○7=100

如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。

要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。

9+13×7=100

再看第二个式子：14○2○5=□

上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以：

14÷2-5=2

即长方形中的数是2。

例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：

2×90=180（个）

（3）还剩下的数码：

1890-9-180=1701（个）

（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。

1701÷3=567（页）

（5）这本书的页数：

9+90+567=666（页）

答略。

例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）

解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。

前三种围法的长方形面积

分别是：

35×5=175（平方厘米）

30×10=300（平方厘米）

25×15=375（平方厘米）

答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。

例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）

解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；

任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中13、23和31是质数；

三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。

综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。

例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）

解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。

下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。

（1）如果运到3号粮站，所用运费是：

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）

=100+100+400

=600（元）

（2）如果运到4号粮站，所用运费是：

0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10

=150+200+150+200

=700（元）

（3）如果运到5号粮站，所用费用是：

0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）

=200+300+300

=800（元）

800＞700＞600

答：集中到第三号粮站所用运费最少。

例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）

解：（1）只拿出一种硬币的方法：

①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一种硬币，有3种方法。

（2）只拿两种硬币的方法：

①拿8枚1分的，1枚2分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出两种硬币，有5种方法。

（3）拿三种硬币的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三种硬币，有2种方法。