..圆的参数方程及应用(教学设计)

2.1.2 圆的参数方程及应用(教学设计)

教学目标：

知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨

⎧==)

()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨

⎧==)()

(t g y t f x

所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩

⎨

⎧==)()

(t g y t f x

叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

2、参数方程的求法：

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；

（2）选取适当的参数；

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。 二、师生互动，新课讲解: （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程）

圆2

22r y x =+参数方程⎩

⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）

说明：

（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。

（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

（2）圆2

2020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin cos 00r y y r x x （θ为参数）

例1：已知圆方程x 2+y 2+2x -6y +9=0，将它化为参数方程。

x

y

O

r M M 0

解： (x +1)2+(y -3)2

=1

1cos 3sin x y θ

θ=-+⎧⎨

=+⎩

变式训练1： 1、圆O 的参数方程5cos 5sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩ （θ为参数）

(1)如果圆上点P 所对应的参数53

π

θ=

，则点P 的坐标是____________ 5 (2)(,)_________.22

Q Q θ-如果圆上点所对应的坐标是，则点对应的参数等于2、参数方程

2cos 2sin x y θ

θ=-⎧⎨

=⎩

（θ为参数）表示的曲线是( ) A.圆心在原点，半径为2的圆 B.圆心不在原点，但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能

3.:

2cos (1)________

2sin ___________________

x y θ

θ

=+⎧⎨=-+⎩填空题参数方程表示圆心为半径为的圆，化为标准方程为 （2）把圆的方程x 2

+y 2

+2z-4y+1=0化为参数方程______________________

例2（课本P24例2）如图，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。

例3:已知点P （x ，y ）是圆

0124622=+--+y x y x 上动点，求 （1）2

2y x +的最值， （2）x+y 的最值，

（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

解：圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ，用参数方程表示为θθ

sin 2cos 3{

+=+=y x [来源:Z_xx_]

由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），

（1）

)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222ϕθθθθθ++=++=+++=+y x [来源:学#科#网Z#X#X#K]

(其中tan ϕ =

23

) ∴22y x +的最大值为14

+2 13，最小值为14- 213

。

(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ sin （ θ +

4

π

）∴ x+y 的最大值为，最小值为。

显然当sin （ θ+ 4

π）= ±1时，d 取最大值，最小值，分别为1+1-

222

2

4:(-1,0)(1,0)(3)(4)4|||B |A B x y P PA P P -+-=+例平面上两点，，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标。

()2244250 .Q x y P M PQ MQ PM M +==如图，已知点是圆上的动点，定点，，若点分为求点的轨迹的参例数方程.

()()2222 ,410.1 .6 2x y x y x z y x w x y +-+==-=+ 如果实数满足求：的最小值；

的最值例

三、课堂小结，巩固反思：

1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。

2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。

3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 四、课时必记：

（1）圆2

22r y x =+参数方程⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos r y r x （θ为参数）

（2）圆2

2020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩

⎨

⎧+=+=θθ

sin cos 00r y y r x x （θ为参数）

五、分层作业： A 组：

(3)

d =

=