刘徽的数学思想

刘徽的数学思想

刘 徽 的 数 学 思 想

摘要：刘徽是我国古代杰出的数学家，其传世著作《九章算数注》、《海岛算经》无不显露出其才华。刘徽为我国古代数学作出了重大贡献，其今有术、割圆术等算法至今依然有我们学习的地方，而刘徽的成就说明出他有着完善的数学思想，现将其归纳为四大思想：程序思想、推广思想、演绎思想、探赜思想，通过对刘徽四大数学思想的介绍、学习，从而在今后更好地利用这些数学思想，做出贡献。

关键词：刘徽 程序思想 推广思想 演绎思想 探赜思想

正文：

刘徽，中国古代数学家，其身世不详。但刘徽在中国数学领域内的贡献是及其巨大的，其传世著作《九章算术注》和《海岛算经》在数学理论、数学算法上有诸多创造、发明，对后世有着及其深远的影响。作为魏晋南北朝时期最杰出的数学家之一，刘徽有其完整而丰富的数学思想，这一点可以从刘徽给《九章算术》作注时，采用“析理以辞，解体用图”，使“约而能通，通而不黩，览之者思过半矣”]4[看出。对于刘徽的数学思想，白尚恕老先生已做过详细解析，而如今结合白尚恕老师的解析谈谈自己对刘徽思想的认知。今就刘徽《九章算术注》所论，逐条剖析其数学思想。

1. 程序思想

在《九章算术》中，由数的四则运算、开方算法、各种术的算法以及线性方程组的解法来看，其具有鲜明的程序特色，故很多数学家也把它看成是以机械化算法体系为主的东方数学代表作，而刘徽为其著作的《九章算术注》正显示出刘徽的程序化思想。

比如说《九章》卷七盈不足章弟9问“今有米在十斗桶中，不知其数，满中添粟而舀之，得米七斗。问米几何。”其术文“以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有余二升。”而刘徽的注称：“按桶受一斛。若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粒米四斗八升。课于七斗是为不足二升。若使故米三斗添粟七斗以满之。七斗得粒米四斗二升。课于七斗是为有余二升。”]1[用方程来表达即

升（不足）2)50

3082(7=⨯+- 升（有余）27-）50

3073（=⨯+ 可见刘徽所论具有鲜明的程序性。刘徽在乘除法连续运算、方程解法等方面亦提出了自己的新见解，这些无不章示着刘徽的程序化思想，刘徽的程序思想渗透在《九章》的各个部分，而且也直接影响了后世的中国数学。

2. 推广思想

“举一反三”是古代儒家哲学思想之一，而刘徽也在《九章注》中称：“可以广施诸率，所谓告往而知来，举一隅而三隅反者也。”他一再提倡研究数学要由此及彼，善于推理，这就是今天所说的推广思想。在《九章注》中可以从很多地方看出他的这种推广思想，他将其率术、反其率术、经率术、经术术、衰分术、返衰术甚至均输术都看成是由今有术直接推广的算法，又如在络丝术中刘徽推广求连比的算法时称：“凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四、五转不异也。”

刘徽更将这种推广思想付诸实践，例如在均输章五人分五钱一问中，除按数学理论注释

五项锥行衰的原理外，并给出五项锥行衰的另一种算法，刘徽还以七人分七钱为例，推广至七项锥行衰算法。刘徽还将推广思想延伸到极限的境界，这一点在割圆术的描述中颇有体现。刘徽在当时没有数列、数列和、单调数列、有界数列以及收敛数列的确切概念，但他依然利

用推广的思想，将这些用于数学研究中，这一点很值得我们敬佩]2[。

3.演绎思想

数形结合一直是数学研究中必不可少的方法之一，而刘徽在数学推理过程中，使用了大量图形进行论证，充分发挥了数形结合的优势。在推正过程中，刘徽充分使用几何图形的直观性，把平面图形绘在丝帛或纸张上，沿着线条裁开，再拼补成与之等积的图形。为了醒目并便于叙述、拼补起见，还把部分图形涂以各种颜色，刘徽在此基础上总结、提高。这就是后世所称的“割补法”，也称“出入相补原理”。刘徽不仅把这一理论应用于论证直线型平面图形的面积算法以及直线段的算法，还进而应用论证直线型立体图形的体积算法以及开方算法。再者，刘徽在推证园型立体的体积算法时，总是在园型立体外作一外切方型立体，依据

园型立体与其外切方型立体截面面积之比来推证园型立体的体积算法]4[。

刘徽在演绎、推理过程中，不但结合着图形及模型进行论证，还使用了“割圆术”“出入相补原理”等理论进行推演，不仅加强了理论的直观性，也说明了推理的可靠性，同时还可以起到事半功倍的效果。

4.探赜思想

刘徽分析大自然中阴、阳的割裂、变化关系，总结数学中理论及其历史渊源；并认识到各种各类事物都有共同的根源，而数学问题的分支、种类虽多，但都有同一的主干，都发源于同一根源。就这一点，从刘徽把今有术看成是其率术、反其率术、经率术、经术术、衰分术、返衰术、均输术等各术的共同根源可以看出。同时，刘徽还把齐同术由分数扩充到整数运算，这又说明齐同术是同工共作算法的根源。这些都是刘徽探赜思想的具体思想的表现。（注：四大思想引自《中国数学史研究》）

刘徽不愧是中国古代一位杰出的数学家，他在数学理论方面，立论严谨，旁征博引，既在前人基础上，又不迷信古人，以实事求是的精神，以理服人，取得诸多数学成果；在学术思想方面，兼收百家思想，继承并发展着中国数学的传统，从而形成自己独特的数学学术思想。刘徽才华出众，一代大家，直到如今，他的数学思想依然值得我们学习。

参考文献

1.《九章算术》译注郭书春上海古籍出版社

2.《中国数学史研究》白尚恕文集北京师范大学出版社

3.《中国古算解趣》郁祖权科学出版社

4.《数学史概论》李文林高等教育出版社