直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

【知识通关】

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎨⎧

＞0⇔相交；

＝0⇔相切；

＜0⇔相离.

2．圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：

[常用结论]

1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程． 2．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.

(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()

[答案](1)×(2)×(3)×(4)√

2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()

A．相切B．直线过圆心

C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离

B

3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()

A．内切B．相交

C．外切D．相离

B

4．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()

A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0

C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0

D

5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为____．

22

【题型突破】

直线与圆的位置关系

►考法1直线与圆位置关系的判定

【例1】直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是() A．相交B．相切

C．相离D．不确定

A

►考法2切线问题

【例2】已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

[解]由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.

(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，

∴点P在圆C上．

又k PC＝2－2－2

2＋1－1

＝－1，

∴切线的斜率k＝－

1

k PC＝1.

∴过点P的圆C的切线方程是

y－(2－2)＝x－(2＋1)，

即x－y＋1－22＝0.

(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，

∴点M在圆C外部．

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.

又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|

k2＋1

＝r＝2，解得k＝

3

4.

∴切线方程为y－1＝3

4(x－3)，即3x－4y－5＝0.

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.

∵|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，

∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.

►考法3弦长问题

【例3】设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0

C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0

D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0

B [当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎨⎧ x ＝0，

x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧

x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22

＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋

3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－3

4x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，

直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B .] [方法总结] 1.判断直线与圆的位置关系的常用方法：

(1)若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d 与r 的关系判断. (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用Δ判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法.

2.(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.

(2)处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

(1)若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m

的取值范围为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0)

C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)

(2)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－34，0 B .⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33

，33

D .⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－23，0 (3)已知P 是直线l ：kx ＋4y －10＝0(k ＞0)上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－