_数列极限的定义

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因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
二、数列的定义 如果按照某一法则 , 对每一 nN, 对应着一个确定 的实数 xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 数列举例:
( -1)n-1 当 n 无限增大时, xn = 1 无限接近于1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有
多接近.
xn - 1 = ( -1)
n -1
1 1 = n n
-, 想要 | x 1|<10 n 给定 10 ,
n
lim x n = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
例3： 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0. 证明：对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1< , 只要n>log|q| 1就可以了. 因为 0, N=[ log|q| 1]N, 当nN时, 有
数列极限的定义
Sx05
一、概念的引入
怎样求圆的面积S？ 割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积, , An表示圆内接正62n-1边形面积, . 显然n越大, An越接近于S.
a-
(
a
) a
n
lim x n = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
n ( - 1) n -1 =1 . 例 1 . 证 明 lim 例 1： n n
n -1 n ( 1 ) 证明 ： | x n - 1| = | -1 |= 1 . n n 1 , 即 n 1 对 , 即 n 1 .. 对于 于 >0 >0, ,要 要使 使||x xnn-1| 1| ,, 只 只要 要 1 n n 1 ] N 1 N = [ 证 明 因 为 0, 当 nn N时 时, , 有 有 证 明 因 为 0, N = [ ] N , , 当 N n (- 1) n -1 1 | 1 | = | x n - 1| = , n n n (- 1) n -1 =1 . 所 以 lim n n
n
lim x n = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
( - 1) n 例2 ： 例 . 证 明 lim =0. 2 n ( n 1) ( - 1) n 1 1 = | 0 | . = 证明： | x n - 0| 2 2 (n 1) ( n 1) n 1 1 1 1 1 ,, 即 n -1 1 .. 对于 于 0 0,, 要 要使 使||x xnn-0| 0| ,, 只 只要 要 即n 对 n 1 1 n 1 -1 1 1 N = [ ] 因为 0 , N , 当 N 时 有 N = [ 1 ] 因 为 0 , N 当 n ,, 有 因 为 0 , N = [ - 1] N ,, n 当 n N N, 时 时 有 ( - 1) n 1 1 , | x n - 0| = | 0 | = ( n 1) 2 ( n 1) 2 n 1 ( - 1) n 所 以 lim =0. 2 n ( n 1)
x1
xn
x4
x3
x5 x2
•数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n), nN .
三、数列的极限
( -1) 观察数列{1 n
n -1
} 当 n 时的变化趋势.
ห้องสมุดไป่ตู้ 问题:
当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一确定的 数值?如果是,如何确定?
通过上面图形的观察:
n
lim x n = a 0, NN, 当nN时, 有|xn-a| .
数列极限的几何意义 •任意给定a的邻域(a-, a),
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a-, a)外 •当n>N时, 点xn全都落在邻域(a-, a)内
|qn-1-0|=|q|n-1< ,
所 以 lim q n -1 = 0 .
n
五、小结
用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0寻找 N,但不必要求最小的N. , 数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;
作业
P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6
1 2 3 n , , ,, ; 2 3 4 n 1 2, 4, 8, , 2n , ;
1 1 1 1 1 { n } , , ,, n ,; 2 2 4 8 2 1, -1, 1, , (-1)n1, .
•数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事 先给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
数列极限的定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn-a |< 都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 lim x n = a 或 x n a ( n ) .
-k
1 由 10- k , n -k k 就有 x 1 10 ; 只要 n 10 , n
一般地, 给定
0, 想要|xn-1|< ,
只要 n 1 / ,
1 由 , n 就有 xn - 1 .
当n无限增大时 , 如果数列{xn}的一般项 xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. 怎样用数学语言描述？ 分析 当n→∞, x n→ a . 当n→∞, |xn-a|→0 . 当n→∞, |xn-a|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|<ε, （ε为事先给定的任 意小的正数）.
n
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或 说 数 列 { x n } 是 发 散 的 , 习 惯 上 也 说 lim x n 不 存 在 . n •极限定义的简记形式 ——“ – N ” 定义
n
, 当nN时, 有|x -a| . 0, N N lim x n = a n
-2
1 1 由 , n 100 只要 n 100, 就有 xn - 1 10 - 2 ; 1 由 10- 4 , n
就有 xn - 1 10 - 4 ;
- 4, 想要 | x 1|<10 n 给定 10 ,
-4
只要 n 104 ,
- k, 想要 | x 1|<10 n 给定 10 ,