高二数学选修曲线参数方程的意义

？ 救援点
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿Oy反方向作自由落体运动.

x y
3,sin2
cos2

(x
3)2

y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
知识创建
2.参数方程和普通方程的互化：
1 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可以没有明显意义； 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样;
3.在实际问题中要确定参数的取值范围;
创设情境
由参数方程

x y

cos sin

3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
4.4.1 曲线参数方程的意义
4.4.2 参数方程和普通方程的互化
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
友情提示：
即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时，开始投放物资？
由第一个方程得: t x 1 代入第二个方程得: y ( x21)2 ,
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
(1)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解：(1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
（g=9.8m/s2 )
gt 2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
知识构建
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 x f (t),
▪ 引入变数x, y 中的一个与参数t的关系，例 如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y=f(t),那么
▪ {x=f(t)
▪
y=f(t)
▪ 就是曲线的参数方程
例题分析:
例1:
已知曲线C的参数方程是
x y

3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
C、(
源自文库
1 2
,
1 2
);
D、（1，0）
3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上.

x y

1 2t, at 2 .
(t为参数,a

R)
（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
a=1
解: (1)由题意可知:
解得:
at2=4
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
x2=
(c
os
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明：这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
(2)因为：x sin cos 2 sin( )
4
所以x 2, 2
y
所以普通方程是x2 y, x 2, 2 .
所以与参 数方程等价的普通方程 为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
o
例3、求参数方程
x

y

g (t ).
（1）
且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点
M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参
数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也
是最好的方法。
巩固练习:
1、曲线

x

1
t2
, (t为参数）
与x轴的交点坐标是(
)
y 4t 3
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
D、(
25 16
,
0);
2、方程

x y

sin cos
,
(为参数）所表示的曲线上一点的坐标是
（）
A、（2，7）；B、(1 , 2); 33
可得普通方程：y=2x - 4 （x≥0）
2.三角法：利用三角恒等式消去参数； 3.整体消元法：根据参数方程本身结构特征,从整体上消去；
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：
在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，
必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得
x、y的取值范围
将普通方程化为参数方程的方法：


y
|
cos
2 1 (1 2
sin
2
sin )
|, (0



2
)
表示（
）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1,1/2）：
（B）抛物线的一部分, 这部分过（1,1/2）： （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2) （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1,1/2)
O
x
创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
垂直高度为y，所以
x 100t,

y

500

1 2