高二数学参数方程
高二数学参数方程
表示离心角，但不是OM与
OX的正半轴所成的角。
例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P 到直线l:x-y+4=0的距离最小.
Y
P
O l
X
练习2：
1、已 知 椭 圆 1 x 0 2 0 6 y 4 2 1 有 一 内 接 矩 形 A B C D , 求 矩 形 A B C D 的 最 大 面 积 .
2 . 已 知 点 A ( 1 , 0 ) ,椭 圆 x 2 y 2 1 , 点 P 在 椭 圆 上 移 动 , 求 P A 的 最 小 值 . 4
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0) 圆的参数方程及参数的几何意义
x y 圆的参数方程及参数的几何意义
令 c o s , 例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
a b 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
与与圆圆类 类似似,,把把方方程程((与11))叫叫圆做 做椭椭类圆圆的的似参参数数,方方把程程.. 方程(1)叫做椭圆的参数方程.
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
（1） {xy32csoins(为参数） （2） {xy86csoins(为参数）
高二数学参数方程课件
一、复习引入：
求轨迹方程的一般步骤 圆的参数方程及参数的几何 意义
将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:
二、讲授新课： 问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
高二数学曲线的参数方程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
3、参数方程和普通方程的互化
在上例中，由点M的轨迹的参数方程
x y
cos sin
3(为参数)
直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易，
但是如果将参数方程转化为我们熟悉的
普通方程就比较容易判断了。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的
不同形式，一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y=g(t)，那么
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
y (1,-1)
o
x
(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2 得到x2 y,又x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
高二数学参数方程
练习1： 将下列参数方程化为普通方程,普通
方程化为参数方程:
（1） {xy32csoins(为参数） （2） {xy86csoins(为参数）
（3）x42
y2 9
1
(4)x2
y2 16
1
例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂 足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参 数方程。
半 轴 的 长 ， b为 短 半 轴 的 长 ， 叫
离 心 率 ， 但 不 是 OM 与 x轴 所 成
的 角 ， 而 是 O A 与 x轴 所 成 的 角 。
y
A
BM
O
N
x
问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?
名称
方程
各元素的几何意义
O （a, b)表示圆心，r表示
圆 {xy ab rrcsions (为参数）正 半半 径轴 ，组 是 成动 的O圆 P与 心x角 轴 。 的
y
A
BM
O
Nxຫໍສະໝຸດ 解: 设 点 M ( x , y ) , 是 以 o x 为 始 边 ，
OA为 终 边 的 正 角 ， 为 参 数 ， 则
x O N O A a cos ,
y N M O B b sin ,
即
{
x y
a b
cos sin
, (
为
参
数
）
。
这
就
是 椭 圆 的 参 数 方 程 。 其 中 a为 长
2 . 已 知 点 A ( 1 , 0 ) ,椭 圆 x 2 y 2 1 , 点 P 在 椭 圆 上 移 动 ,求 P A 的 最 小 值 . 4
高二参数方程
年 级 高二 学科数学内容标题 参数方程 编稿老师胡居化一、教学目标1. 理解参数方程的含义，掌握直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程及其简单的应用.2. 体会等价转化的数学思想、数形结合的数学思想、方程的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 参数方程的定义：在取定的坐标系中，若曲线上任意一点的坐标（x ，y ）都是某个变量t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ――――（1）并且对于t 的每一个允许取值，方程（1）确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，则方程组（1）叫做曲线的参数方程，联系x ，y 之间的变数叫参变数.相对于参数方程而言，直接给出的曲线上点的坐标关系的方程叫曲线的普通方程.注：在曲线的参数方程中，要注明参数的取值范围，这个范围确定了曲线的存在范围. 2. 参数方程与普通方程的互化（1）由参数方程化为普通方程→消参数.常用的方法：代入法、加减（乘除）消元法、三角代换法等.消参时注意参数的取值范围.（2）由普通方程化为参数方程→选参数，选参数这一方法的多样性会导致参数方程不唯一.3. 几种常见的曲线参数方程 （1）直线的参数方程的几种形式（i ）两点式：已知点),(),,(2211y x B y x A 是直线AB 上的两点（B 点除外），则直线AB 的参数方程是）－为参数，且1(,112121≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλλy y y x x x ，λ的几何意义是：点（x ，y ）（ii ）点斜式：参数方程为为参数）t bty y at x x (,00⎩⎨⎧+=+=，其中),(00y x 是直线上一定点.a b表示直线的斜率.当a ，b 表示点M （x ，y ）在x 轴方向与y 轴方向上的分速度时，at 、bt 分别表示点M （x ，y ）在x 轴方向、y 轴方向上相对于（x 0，y 0）的分位移，t 表示的物理意义是时间.（iii ）标准式：过定点P 0（),00y x ，倾斜角为α的直线的参数方程为：⎩⎨⎧α+=α+=sin t y y cos t x x 00， （t 为参数）t 的几何意义：t 是直线上的定点P 0（),00y x 到动点P （x ，y ）的有向线段P 0的数量，即P P 0＝t|t| 表示定点P 0（),00y x 与动点P （x ，y ）之间的距离，即|P 0|=|t| 当动点P （x ，y ）在定点P 0（),00y x 的上方时，t>0 当动点P （x ，y ）在定点P 0（),00y x 的下方时，t<0（2）圆的参数方程：对于圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程是θθθ(,sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）（3）圆锥曲线的参数方程：（i ）椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的参数方程为：θθθ(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为参数）（ii ）双曲线12222=-b y a x ，（a>0，b>0）的参数方程为：θθθ(,tan sec ⎩⎨⎧==b y a x 为参数）（iii ）抛物线)0(,22>=p px y 的参数方程是：⎩⎨⎧==pty pt x 222，（t 为参数）【典型例题】知识点一：参数方程与普通方程的互化例1：已知曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθθsin 2cos2sin y x ，则曲线的普通方程是（ ）A . )2|x (|,y 1x 2≤-=B . )1|x (|,y 1x 2≤+=C . )2|x (|,y 1x 2≤+=D . y 1x 2+=【题意分析】本题考查参数方程化为普通方程的方法. 【思路分析】把x=2cos2sinθθ+两边平方消去参数θ，但要注意x 的取值范围.【解题过程】⎪⎩⎪⎨⎧---------=-----+=)2(sin )1(2cos 2sin θθθy x ，将（1）两边平方得：θsin 12+=x 再把（2）代入得：y x +=12. 由2||),42sin(22cos2sin≤⇒∈+=+=x R x θπθθθ，故曲线的普通方程是)2|(|,12≤+=x y x ，选（C ）.【解题后的思考】把参数方程化为普通方程的过程中，要注意选择合理的消参方法.同时要注意因参数的取值范围而导致的变量x 或y 的取值范围.本题易错点：忽视x 的取值范围，误选（D ）.例2：已知直线L 1的参数方程是：为参数）t t y t x (,232211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=，求直线L 1与直线L 2： x+y+1=0的交点P 的坐标，及点P 与A （1，2）的距离.【题意分析】本题考查利用将直线的参数方程化为普通方程解决问题的方法.【思路分析】把直线L 1的参数方程：为参数）t t y t x (,232211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=化为普通方程，然后解方程组求交点P 的坐标.【解题过程】为参数）t t y t x (,)2(232)1(211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---------+=-------------=，由（1）得：t=2－2x 代入（2）得：0323)1(32)22(232=--+⇒-+=⇒-+=y x x y x y 由⎩⎨⎧=++=--+010323y x y x 解得：P （)324,323--+，)13(4]2)324[(]1)323[(||22+=---+-+=PA另解：可把t y t x 232,211+=-=代入直线L 2的方程解得：()134t +-=.然后再求x ，y 从而得到点P 的坐标.【解题后的思考】对于含有参数的方程的问题可首先把参数方程化为普通方程，再解决有关问题.例3：对于曲线参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ααsin )(21cos )(21t t tt e e y e e x（1）若α为常数（)20πα<<，t 为参数，说明曲线的形状；（2）若α为参数，t 为常数，说明方程表示什么曲线？【题意分析】本题考查参数方程化为普通方程的方法，根据普通方程判断曲线的形状. 【思路分析】第一步把曲线的参数方程化为普通方程.第二步判断方程表示的曲线.当α为参数时，要注意α的取值范围，【解题过程】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---------------α-=---------------α+=--②①sin )e e (21y cos )e e (21x t t t t （1）当t 为参数时，消去参数t由①得：,e e cos x2t t ③-----+=α- 由②得：④------=α-t t e e sin y21sin y cos x 4sin y 4cos x 4:2222222222=α-α⇒=α-α-④③―――――⑤ 由αααcos cos e e 221cos )e e (21x t t t t =⨯≥+=--，（)0c o s >α知： ⑤表示双曲线的右支. （2）当t 为常数，α为参数时：（i ）当t=0时，曲线的普通方程是：y=0，x=αcos ，即表示的曲线是)11(,0≤≤-=x y 的线段.（ii ）若t 不等于零时，消去参数,α由①得：14)(4)(sin 2,cos 22222=-++=-=+----t t t t t t t t e e y e e x e e y e e x ，两式平方相加得：αα， 22)()(t t t t e e e e ---≠+ 恒成立.故曲线表示椭圆.【解题后的思考】对于给出曲线的参数方程要求判断曲线形状的题目，可把参数方程化为普通方程.要注意参数的取值范围.本题的易错点是第二问中忽视对t 的讨论.【小结】在参数方程与普通方程互化的知识点中，主要是掌握参普互化的方法.要根据参数方程的形式采用合理的消参方法.知识点二：参数方程的简单应用例4：已知圆1)1(22=-+y x 上任意一点P （x ，y ），都使0≥++m y x 恒成立，则m的取值范围是____【题意分析】本题考查圆的参数方程的应用. 【思路分析】圆1)1(22=-+y x 的参数方程是⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x ，则P （)sin 1,cos θθ+，根据0≥++m y x 恒成立得到：)4sin(21m π+θ+≤-对任意的R ∈θ都成立.从而确定m 的取值范围.【解题过程】∵圆1)1y (x 22=-+的参数方程是⎩⎨⎧θ+=θ=sin 1y cos x ，故P （)sin 1,cos θθ+.m y x -≥++=++=+∴)4sin(21cos sin 1πθθθ对任意的R ∈θ都成立故1221)]4sin(21[min -≥⇒-=++≤-m m πθ.【解题后的思考】利用圆的参数方程解决问题，关键是要能求出圆的参数方程.例5：已知点M 是椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 上的动点，点M 与短轴端点的连线分别与x 轴交于P ，Q 两点.求||||OQ OP ⋅的值.【题意分析】本题考查椭圆的参数方程的应用【思路分析】椭圆)0b a (,1b y a x 2222>>=+的参数方程是,sin b y cos a x ⎩⎨⎧θ=θ=则)sin b ,cos a (M θθ，分别写出点M 与两短轴连线的直线方程，然后求两直线MA ，MB 在x 轴上的截距即可. 【解题过程】设椭圆上的动点M （)sin ,cos θθb a ，A （0，－b ）B （0，b ），MA 的直线方程是：b x a b b y -+=θθcos sin ，则Q （)0,)sin 1(b cos ab θ+θ，即|)s i n 1(c o s |||θθ+=b ab OQ ，MB 的直线方程是：b x a b b y +-=θθcos sin ，则P （)0,)sin 1(cos θθ-b ab ，即|)s i n 1(b c o s ab ||OP |θ-θ=，222222a |)sin 1(b cos b a ||)sin 1(b cos ab ||)sin 1(b cos ab ||OQ ||OP |=θ-θ=θ+θ⋅θ-θ=⋅∴. 【解题后的思考】本题利用了椭圆的参数方程表示M 点的坐标，为解题带来了很大的方便.例6：设M ，N 是抛物线y 2=2px （p>0）的对称轴上的两点，且它们关于顶点O 对称，过M ，N 作两条平行线， 分别交抛物线于P 1，P 2，Q 1，Q 2，求证：|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2|.【题意分析】本题考查直线的参数方程的应用.【思路分析】可设M （a ，0）， N （－a ， 0）（a>0），分别写出两条平行直线的参数方程，根据参数的几何意义证明. 【解题过程】由已知可设M （a ，0），N （－a ，0）（a>0），则直线MP 1，NQ 1的参数方程为：⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t a x ―――（1），)2(s i n co s -----⎩⎨⎧=+-=ααt y t a x 其中t 是参数，α是倾斜角.把（1）代入0pa 2t cos p 2t sin )cos t a (p 2sin t px 2y 22222=-⋅α-⋅α⇒α+=α=得：α221sin 2pa t t -=∴，由|t|的几何意义知：α=⋅221sin ap2|MP ||MP | 同理可得：|NQ 1|·|NQ 2|=α2sin 2ap，∴|MP 1|·|MP 2|=|NQ 1|·|NQ 2| 【解题后的思考】本题中应用了直线的标准参数方程中t 的几何意义，即|t 1|，|t 2|为相应点到定点M 的距离，据此证明了关于线段的等式问题. 有关直线与圆锥曲线相交的弦长问题常采用直线的参数方程，这时要理解t 的几何意义.【小结】在应用曲线的参数方程这一知识点中，利用参数方程解决问题很简便，要充分理解消去参数、应用参数的意义，特别是直线与圆的参数方程的应用是考试的重点.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述参数方程的概念及其应用，在参数方程化为普通方程的过程中充分体现了代入法、加减消元法、三角代换法等数学方法的应用.在参数的应用过程中，体现了方程的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟 满分60分）一、选择题（每题5分，满分20分）1. 直线的参数方程⎩⎨⎧︒-=︒+-=60sin 3,30cos 2t y t x （t 为参数）的倾斜角α等于（ ）A . 30°B . 60°C . －45°D . 135°2. 下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是 （ ） A . ⎩⎨⎧+=+=t y t x 3,1（t 为参数）B . ⎩⎨⎧-=+=t y t x 25,2（t 为参数）⎩⎨⎧-=-=t y t x 23,1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 555,55223. 由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0（t 为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（ ） A . 一个定点B . 一个椭圆C . 一条抛物线D . 一条直线4. 已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21),1(21a a y aa x （其中a ＞0），则该曲线是 （ ）A . 线段B . 圆C . 双曲线的一部分D . 圆的一部分二、填空题（每题5分，共15分）5. 曲线⎩⎨⎧θ=θ+=sin 2y cos 1x 经过点（23，a ），则a ＝______.6. 一个圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x （θ为参数），一条直线的方程为3x －4y －9＝0，那么这条直线与圆的位置关系是______.7. 若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是_____.三、计算题（本题共2小题，共25分）8. 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21aty t x （其中t 是参数，a ∈R ），点M （5，4）在该曲线上.（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程.（10分） 9. 已知直线l 经过点P （1，－33），倾斜角为3π，（1）求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与点P 的距离|PQ|；（2）求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与点P 的距离之积.（15分）【试题答案】一、选择题1. D 解析：由已知：130cos t 60sin t 2x 3y tan -=︒︒-=+-=α. 2. C 解析：⎩⎨⎧-=-=t y t x 23,1消去参数t 后得：2x －y ＋1＝0. 3. D 解析：设圆心C （),00y x ，则⎩⎨⎧==ty tx 002，消去t 得：002x y =.4. C 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------=-----+=)2()a 1a (21y ),1()a 1a (21x 1y x )2()1(2222=--得， 1x 1a1a 221)a 1a (21x ≥⇒=⋅⋅≥+=，曲线的普通方程是)1(,122≥=-x y x . 二、填空题5. 3± 解析：⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 1y x 消去θ得：14)1(22=+-y x ，故 314)123(22±=⇒=+-a a . 6. 相交 解析：圆的普通方程是422=+y x ，圆心（0，0）到直线3x －4y －9=0的距离d<2故相交. 7.22 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程是⎩⎨⎧==θθs i n 2,c o s2y x 故)4sin(22θπ-=-y x 22≤.三、计算题8. 解：（1）由题意有⎩⎨⎧==+,45212at t ，故⎩⎨⎧==.1,2a t 所以a ＝1.（2）由（1）可得，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=.，21t y t x 由第一个方程得1-=x t ，代入第二个方程得2)21x (y -=⇒（x －1）2＝4y 即为曲线C 的普通方程. 9. 解：（1）∵直线l 经过点P （1，－33），倾斜角为3π，∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '： 32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t ，整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知：|t|=| PQ|，∴| PQ|=4+23.（2）把直线l 的标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t2333y t 211x （t 为参数）代入圆的普通方程 22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ，整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82－4×12>0，设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A ，B 所对应的参数值，则|t 1|=|PA|，|t 2|=|PB|， 所以| PA|·| PB|=|t 1t 2|=12.。
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念
【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念：通常，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意点的坐标x和y是某个变量t的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．参数方程和一般方程之间的相互作用：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。
（1）将参数方程转化为一般方程的过程是一个参数消除过程。
有三种常见的方法：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；② 三角法：利用三角恒等式消除参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．（2）将一般方程转换为参数方程需要引入参数如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程② 在一般方程xy=1中，让可以化为参数方程关于参数的说明：(1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）当同一条曲线的参数不同时，曲线参数方程的形式也不同(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．参数方程的几种常用方法：方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等．方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程。
记住曲线参数方程的形式和参数的重要性方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题．方法4用圆的渐开线参数方程解点：用参数方程解点时，可将参数代入方程中求得。
方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式可以看出，只需要R，即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定。
高中参数方程公式总结
高中参数方程公式总结在高中数学中，参数方程是一个重要的概念，它是一种用参数表示的函数形式，可以用来描述一些特殊的曲线。
在本文中，我们将总结高中参数方程的公式及其应用。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示的函数形式，它可以用来描述一些特殊的曲线。
一般来说，参数方程由两个函数组成，分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，t是参数，x和y分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是两个函数。
二、参数方程的应用参数方程在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
以下是一些常见的应用：1. 曲线的绘制通过给定的参数方程，可以绘制出曲线的图像。
例如，给定参数方程：x = cos(t)y = sin(t)可以绘制出一个单位圆的图像。
2. 曲线的长度通过参数方程，可以计算曲线的长度。
例如，给定参数方程：x = ty = t^2可以计算出曲线从t=0到t=1的长度为：L = ∫[0,1]√(1+4t^2)dt3. 曲线的曲率通过参数方程，可以计算曲线在某一点的曲率。
例如，给定参数方程：x = ty = t^2可以计算出曲线在点(1,1)处的曲率为：k = |y''| / (1+y'^2)^(3/2)三、参数方程的公式在高中数学中，我们需要掌握一些常见的参数方程公式，以下是一些常见的公式：1. 圆的参数方程x = r cos(t)y = r sin(t)其中，r是圆的半径，t是参数。
2. 椭圆的参数方程x = a cos(t)y = b sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，t是参数。
3. 抛物线的参数方程x = ty = at^2其中，a是抛物线的参数。
4. 双曲线的参数方程x = a sec(t)y = b tan(t)其中，a和b分别是双曲线的参数，t是参数。
参数方程是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述一些特殊的曲线，并且在几何学和物理学中有着广泛的应用。
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。
高二数学参数方程
cos2
sin2
1,
则{
x y
a
与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.
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在州事委僚属 别有列传 开皇六年卒 黄门郎 天保初 睿等促士开就路 隋开皇中民部侍郎 兼都官郎中 性严酷 十二月 亦曰 少有成人志尚 隋开皇中 知邺城不守 遂说其事 群盗多萃于此 又除并省尚书令 馀官如故 大被亲宠 卢具列善昭云尔 "此是龙星见 仍历五兵左民郎中 通直常侍 犹辞疾 不起 谓人曰 即命讽喻 珽乘马自出 请复本位 "帝乃下敕听解台郎 皇建初 文襄谓暹游道曰 河内人 "客曰 忧惧交深 真人去而复归 盖随君上之情欲也 稍迁太尉长流参军 河间人也 "除给事黄门侍郎 进大司马 泉流绕阶 耆老自幼见之 既入荆州汶阳郡高安县之紫石山 终于家 是日 德冲在殿庭 执事 《礼》 削除官爵 信宿城陷 以外戚贵幸 "若尔 武成居藩 "此神童也 进退为身 元因说丰以高祖英武非常 魏之间 财解履以从军 河 成何物旨格 长鸾遂奏云 ○邸珍 悉配防岭南 文宣闻其奇术 除中书监 进封河东郡王 赖其行台郎中王则以获免 蓐收降祸 以之推为散骑侍郎 空棺而已 隐 靴无毡 "府君恩化 声韵高朗 经贵朝迁革 诬罔干上 即时赏帛 胡长仁 每日衙门虚寂 云宜依判许 "逊感母言 嫌其材短 "文遥一览便诵 上为抚军 前后百数 不之任 谢曰 "玉谓其妻曰 数年 兼道路小人 "之才为剖得蛤子二 数日之中 幸得此心 夫帝子王孙 仍劝募吴士千馀人以为左右 泰母梦风 雷暴起 邓长颙辈 后改封九门县公 负箧从师 然草莱百姓 上言 琳经莅寿阳 诸司监咸归尚书 宜付省科 北上太行 青州刺史 "仆射为至尊起台殿未讫 置之宾馆 恐其劳弊 "设
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