[数学建模]湖水污染问题

湖水污染问题

Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。

假设：

1.假设降水量和蒸发量相等；

2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；

3.湖水混合均匀；

4.湖内无其它污染源。

已知:

Pristine湖的湖容量为l15

9.114l

年。PCA声

10

10，流入(流出)的水流速度为/

称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

问题：

1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。

3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:

(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；

(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。

模型的建立

1.假设

1.假设降水量和蒸发量相等；

2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；

3.湖水混合均匀；

4.湖内无其它污染源。

假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。假设3保证了湖泊的中溶液是均一

稳定的

假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。

2.问题1

由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。

通过生态环境物质守恒原理：

积累量=输入量-输出量+生成量

建立平衡过程模型

由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。

已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）

则我们可以建立每年的污染积累量的模型：

[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq

其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。

由此我们可以构建关于湖水污染的微分方程模型：

V dr(t)dt =CF-r(t)F

其中F 表示河水的流量。

我们可以求出该方程的数值解：

1015dr(t)dt =0.001x1.9x 1014-r(t)x1.9x 1014（附录1）;r(0)=0;

得： r’(t)+0.19r(t)=0.00019;

求解得：r(t)=-e −19t 1001000+11000；即r(t)=0.001(1-e −0.19t )

当时间趋于无穷时r(∞)=0.001；故当PCA 公司继续排放废水，河水和湖水中的污染物的浓度会趋于相同，同时保持在0.001mol/l 的水平。可得出结论以PCA 提供的公开数据可以判断环境不会恶化。

3.问题2

由于派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l 。远远超出了问题以所构建的0.001mol/l 的稳定湖泊污染物浓度。同时河水污染浓度为0.05 mol/l 也超过了PCA 公司所说的0.001mol/l 的浓度。则必须对问题1所构建的模型更换其中不正确的数值。

以河水污染浓度为0.05mol/l 作为正确数据，改进后的湖泊稳定的污染物浓度模型为：

r(t)=0.05(1-e −0.19t )

则r(50)=0.05mol/l 与测量的0.03mol/l 有较大的区别，故问题1构建的微分方程模型有较大误差，不适用；同时PCA 公司提供的公开数据可信度不高，不再用于问题2的求解。

但由于重新构建问题1的模型分析过程没有问题，我们只需要在其上进行修改 即可。参考人口增长模型的建立，我们分析可能河水的污染无浓度不是一个常量，可能是一个关于时间t 的函数C(t),于是产生下列两种猜测：

猜测1：河水的污染物浓度是一个关于t 的线性函数；即C(t)=at+b

由于C(0)=0；C(50)=0.05;故C(t)=0.001t 。

由V dr(t)dt =C(t)F-r(t)F 可得：1015dr(t)dt = C(t)x1.9x 1014-r(t)x1.9x 1014；（附录2）其

中C(t)=0.001t;r(0)=0;

r’(t)+0.19r(t)=0.00019t;

解得r(t)=0.001x+e −19t 100190−1190； 由此可得r(50)=0.0447mol/l.

虽然这个模型很合适但是所计算的浓度仍然过高，超过了0.03mol/l 。

猜测2：河水的污染物浓度是一个关于t 的指数函数；即C=H e At

由于C(0)=0；C(50)=0.05;故H=0.05e −50A ;即C(t)=0.05e −50A e At

但此模型中C(0)并不等于0，但我们仍要将A ；H 计算出来。

因此我们还需要另外一个时刻的值

根据此湖过去的记录我们知道当t=40时C(40)=0.013mol/l.

H=0.05e −50A ；

H=0.013e −40A ；

解得A=0.132，H=6.77x 10−5

故由V dr(t)dt =C(t)F-r(t)F 可得1015dr(t)dt = C(t)x1.9x 1014-r(t)x1.9x 1014（附录3）

r’(t)+0.19r(t)=(1.29x 10−5)e 0.132t ;

解得：r(t)=4x 10−5e 0.132t +k e −0.19t

由C(0)=0可得k=-4x 10−5；故r(t)= 4x 10−5(e 0.132t −e −0.19t )

将t=50代入函数模型，可得r(50)=0.0294mol/l,与实际值相差无几，故可以作为新的函数模型

问题3

我们可以利用问题2 建立的模型预测今后污染将如何减少。

现在我们有2个方案：

方案1：立即减少，工厂停产或半停产，使河水污染浓度变成0.001mol/l 故C(t)= 6.77x 10−5e 0.132t ,0≤t ≤50；

0.001，t ≥50；

故r(t)=0.001+387.43e −0.19t , t ≥50；

由图像可知大约要30年才能达到净化指标。

方案2：允许PCA 根据更多的方式减少河流中的废物浓度以线性的方式逐渐减少，R 表示从开始排放污染物到达到净化指标的最终期限的时间 故 6.77x 10−5e 0.132t ,0≤t ≤50;

C(t)= −0.49t+2.45

R−50+0.05, 50≤t ≤R;

0.001, t ≥R