概率论节中心极限定理

Zn k 1
k 1
n
D( Xk )
k 1
n
k 1
(k 1, 2,)
(n 1, 2,)
的分布函数 Fn (对x) 任意 满x足
n
Xk n
lim Fn (x) lim P k 1
n
n
n
x
x
1
e
t2 2
dt
Φ(x)
2
对于均值为 方, 差 2的 0独立同分布的 r.v 列
有 即或
0.95
60 N 1.5 1.645 N 1
N 5.8, N 33.6
因Ｎ为正整数，故取Ｎ＝33．即最多只能为33个顾客服务，才能
使总的服务时间不超过１小时的概率大于 0.95．
练习 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
σ
20
P{c
X
d}
d
σ
μ
c
σ
μ
.
若 X ~ N (0,1), 则
0 ( x) 1 ( x). 0 z1 z .
（7）正态分布的重要性质：两个或多个相互独立的正 态分布的线性组合仍是正态分布．
即 设X1,X2,…,Xn相互独立, 且Xi ~ N(μi ,σi2 ), i=1,2,…,n,则有
d(tn Φ1,(2x,)
)
除则非称 {X服X1 服n从}从正中态心分极布限，定否理则结论就不真.
设 {Xn }为独立 同分布的 r.v 列，其数学期望和方差分别为
E(Xk ) , D( Xk ) 2 0
则 {Xn服} 从中心极限定理 ,即标准化r.v
n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n
X ~ N (0,1). n
在现实中为什么很多数量指标都 服从或近似服从正态分布
~近似
Z N( , )
研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综 合影响而成,即
Z X1 X2 Xn
当n 时,在什么情况下
Zn
n
Xi的极限分布是？N (
,
)
i 1
n
n
Xi E(Xi )
i 1
为何韩国射击队这么强？
考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误 差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子 弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击 时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、 温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误 差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的 影响不大.
问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的
随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
要点回顾
(1) 正态分布的定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x
,
2πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称X服从参数为 μ, σ 的
正态分布或高斯分布,记为 X ~ N ( μ,σ2 ).
2π
标准正态分布的分布函数表示为
x
( x)
1
t2
e 2 dt,
x .
2π
(4)分位点的概念
若 x 满足 P{ X x } ,
则称 x为X的上 分位点(数)。 (0 1)
(5) 正态分布的期望和方差
设 X ~ N ( μ,σ2 ),则 E(Z ) , D(Z )
(6) 重要公式 若 X ~ N ( μ,σ2 ),则 10 Z X μ ~ N (0,1).
例1
在一零售商店中，其结帐柜台为各顾客服 务的时间（以分计）是相互独立同分布的随机变 量，均值为1.5，方差为１．
(1) 求对100位顾客的总服务时间不多于２小 时的概率
(2) 要求总的服务时间不超过１小时的概率大 于0.95，问至多能对几位顾客服务．
解 (1)以Ｘi (i=1,2,…,100)记对第i对顾客的服
(n 1, 2,)
E(Zn ) 0, D(Zn ) 1 (n部分1,和2,标)准化r.v
一般地若nl取，im答ZXF{的nnZ案n(n分x}是0的)布否(n极函nl定i限m数2的,分3P,！布F)k对n,n是(1则xX任)否kkn意1为kk2nN1满(k0足x,1)
x
Zn
xX2111
e1
t2 2
务时间．
则 E( Xi ) 1.5 D( Xi ) 1
按题意要求概率为
100
P{ Xi 120}.
i 1
由于Ｘ1,X2,…,X100相互独立且服从相同的分布，
由中心极限定理得
100
P{
i 1
Xi
120}
100
P
i 1
Xi 100 1.5 100 1
120 100 1.5
100 1
(2) 正态分布的分布函数
F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
2πσ
(3) 标准正态分布
当正态分布 N ( μ,σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时,这样 的正态分布称为标准正态分布,记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
(x)
1
x2
e 2,
x ,Βιβλιοθήκη (3)0.0013.
(2) 设能对Ｎ位顾客服务，以Ｘi (i=1,2,…,100)
记对第i对顾客的服务时间．
按题意需要确定最大的Ｎ，使
N
P Xi 60 0.95.
i1
由中心极限定理，当Ｎ充分大时，上式可写成
N
P
i 1
X
i
N
1.5
60
N
1.5
N 1
N 1
60
N N
1.5 1
i 1
n
的极限分布是？N (0,1)
D( Xi )
i 1
设 { X是n} 独立r.v列,均值和方差都存在
E(Xn ) n , D( Xn ) n2 (n 1, 2,)
令 则
n
n
Xk E( Xk )
Zn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
n
n
Xk k
k 1
k 1
n
2 k
k 1
X1, X2 ,, Xk ,
n
~ Xk n 近似
k 1
N (0 , 1)
n
~ X1 + X2 + Xn 近似 N(n , n2 )
在实际问题中,如果某数量指标满足
该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成
这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到
突出的作用
则这个数量指标近似地服从正态分布
服务时间
C1 X1 C2 X2 ... Cn Xn
~
N (C1 μ1
C22
...
Cnn , C12σ12
C22
2 2
...
C
n2
2 n
).
特别地，设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同
一分布 N (, 2 ), 值，则有
X
1n n i1
Xi
是X1,X2,…,Xn的算术平
X ~ N ( μ, 2 n ), 或