数学建模单摆问题

数学建模实验

第一次实验：单摆摆动问题分析

结构91

09175004

陈建勇

单摆摆动问题分析

摘要

根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。针对本题题目要求，我们抽象出最为简单的单摆模型，在此基础上加以分析。

在理想条件下，单摆的摆动规律大致分为两种情况：小角度摆动和大角度摆动，分别针对这两种情况，从摆动微分方程出发，之后采取不同的方法分析。小角度摆动时，可做三角近似代替，将非线性微分方程转化为线性微分方程，进而求出其解析解，得到小摆角时单摆运动规律。通过matlab软件的验证，我们可以明显的看出结果与实际相符的很好。针对第二种情况，根据文献由相图的角度得到单摆的准确周期公式，但是实际计算比较困难，借助数学软件可以方便的求出实际准确周期。同样我们也可以用近似的方法计算单摆周期，如格林函数法、余弦函数法得到的近似计算公式，可根据误差要求选取不同的公式。

本题的难点主要在于摆动微分方程的求解，在不同的条件下对近似解与精确解的选择。

关键字：单摆周期小角度摆动大角度变动摆动微分方程

一：问题重述

针对理想条件下的单摆，分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律。

二：模型假设

1.悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；

2.装置严格水平；

3.不受空气阻力，且无驱动力。

三：符号说明

符号

含义

θ（rad ）

单摆偏离平衡位置的角位移 0θ(rad) 单摆的最大摆角 g 重力加速度，取9.8m/s 2 l 细线长，取1m t(s)

单摆摆动时间

四：模型建立与求解

1.最简单的单摆模型(如图1)

图1 简单单摆模型

2.小角度时单摆运动规律（θ<5o ） 单摆的运动微分方程[]1为：

22d dt θ+θsin l

g

=0 (1) 当摆角θ很小时,sin θθ≈,故方程1可简化为:

22d dt θ+θl

g

=0 （2） 这是一个简单的谐振动方程，其解析解为：

θ=Acos(00φω+) (3)

其固定角频率为：

0ω=

l

g

（4） 得其周期为：

T 0=

g

220

l

π

ωπ

=⨯ （5） 可以利用matlab 软件在[0, 5o ]分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像，如图

图2 小角度单摆摆动规律

（—方程（1）的解 ，**方程（2）的解）

由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当θ较小时（θ<5o ），两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确。

上述结论仅仅适用于摆角θ很小时（θ<5o ），当摆角很大时，方程sin θθ≈不

再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，故周期公式（5）不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。 3.大摆角时单摆运动规律

（1）文献【2】从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为： T=

⎰

-20

2

02

sin )2/(sin 1d T 2π

θ

θθ

π

（6）

为研究大摆角时单摆运动周期准确解，我们利用matlab 软件在[0, 2π]区间上做出T 0、

T T

的图像，得到周期的准确解。

图3单摆大摆角周期准确解

如图可以看出，随着摆角的增大，单摆的运动周期逐渐增大，0

T T

也随之增大。

（2）其他参考公式

为求出单摆的周期，有时我们仅仅需要比较简单的近似公式还计算，T 2为文献【3】利用格林函数法得到的近似公式：

T 2= T 0（1+

384

-164

02

θθ

） （7） 经计算，T 2的相对误差随着0θ的增加而迅速增加，当摆角达到360（540）时

误差达到0.1%（0.5%），这对于精确计算已经不满足要求。 3T 为文献【4】给出另外一个简单近似计算公式：

3T = T 0

)

2/cos(1

0θ （8）

该公式简单实用，由公式可以计算，当摆角为570是相对误差为0.1%；当摆角900时误差未达到0.75%。

T 4为文献【5】利用另外一种近似求解的方法——余弦函数法求的周期：

T 4= T 0{1+⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯+2sin 42312sin 41

0402θθ+……} （9）

由公式显而易见可得，周期随着摆角的增大而增大。

五．结论

对于类似单摆的运动问题，我们很希望求得微分方程的严格的解析表达式进

而得到完全准确的运动规律，但很多时候都无法直接求出这类非线性微分方程准

确解，那么我们则可以考虑采取近似求解的方式，之后再采取一定的方式验证结果；或者可以直接借助数学软件接触需要的数值解。Matlab 软件为解决这些数学问题提供了很大的方便，我们可以方便的利用它为我们排忧解惑。

参考文献：

【1】万明理，何金娜，基于matlab下对单摆实验中大摆角问题的讨论[J]，大学物理实验，第23卷6期，2010年12月；

【2】金亚平，单摆周期的相图求解[J] ，大学物理，2000，19（10）；

【3】孙春峰，非线性单摆的格林函数解法[J] ，大学物理，2004,23（1）；【4】 RR Kidd and S.L Fogg,”A simple formular for the large-angle pen-dulum period” [J],Phys,Teacher 2002;

【5】韦德泉，王秋芳，单摆角振幅对其周期的影响[J]，洛阳大学学报，2003,18（2）.

附件：

程序1：

function xp=pp1(t,x)

xp=zeros(2,1);

xp(1)=x(2);

xp(2)=-9.8*sin(x(1));

end

function wp=pp2(t,x)

wp=zeros(2,1);

wp(1)=x(2);

wp(2)=-9.8*x(1);

end

t0=0;tf=10;

[t,x]=ode45('pp1',[t0,tf],[0,pi/36]);

[t1,x1]=ode45('pp2',[t0,tf],[0,pi/36]);

plot(t,x(:,1),'k-');

hold on

plot(t1,x1(:,1),'k*')

axis([0 10 -0.04 0.04])

title('С½Ç¶Èµ¥°Ú°Ú¶¯¹æÂÉ')

xlabel('t/s')

ylabel('¦È/rad')

text(3,-0.032,'¡ª¡ª·½³Ì£¨1£©µÄ½â')

text(3,-0.036,'*****·½³Ì£¨2£©µÄ½â')

程序2：

a=0;

b=pi/2;

n=1000;

h=(b-a)/n;

l=1;g=9.8;