方差及协方差
方差
方差和标准差：
英文：v ariation and standard dev iation
右图为计算公式Variance's f orm ula
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度，称为X的方差。
定义
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或D X。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
S^2=[(x1-x拔)2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(x n-x拔)^2]/n
方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(c X)=(c^2)D(X)。
（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
方差是标准差的平方
协方差
一、定义
协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。
方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。
回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。
方差知道吧。。。
两个不同参数之间的方差就是协方差
若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
定义
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作C OV(X，Y)，即C OV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差与方差之间有如下关系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2C OV(X，Y)
因此，C OV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
协方差的性质：
（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；
（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；
（3）COV(X1+X2，Y)=C OV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，C OV(Y，Y)=D(Y)。
协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：
定义
ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。
定义
若ρXY=0，则称X与Y不相关。
即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。
定理
设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有
（1）∣ρXY∣≤1；
（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）
定义
设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。
二、协方差在农业上的应用
农业科学实验中，经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况，这时就需要采用协方差分析的统计处理方法，将质量因子与数量因子(也称协变量)综合起来加以考虑。
比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量 方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 假定条件和假设检验? 1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。 作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说
期望、方差协方差
随机变量的数字特征 一、数学期望E（x)的性质： 性质一：常数C，E（C)=C; 性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)； 性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ） 二、方差的性质：D(X)=E(X2）-[E(X)]2 性质一：C为常数，则D(C)=0； 性质二：X为随机变量，C为常数，则 D(CX)=C2D(X) D(X±C)=D(X) 性质三：X，Y为相互独立随机变量 Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y) 当X，Y不相互独立时： D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y); 关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？ 证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得 COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]} =E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y) =E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]
=D(X)-D(Y) 三、常用函数期望与方差： ⑴（0-1）分布： ①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0
方差与协方差理解
§2 方差、协方差与相关系数 方差 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为： ξ：7 8901 0601...?? ??? η：67891001 02040201.....?? ???. 问哪一个技术较好 首先看两人平均击中环数，此时8E E ξη==，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度. 称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用()E E ξξ-，但由于 ()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均成立，即ξ的离差正负相消，因此 用()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用()2 E E ξξ-描述取值ξ的离散程度，这 就是方差. 定义 1 若()2 E E ξξ-存在，为有限值，就称它是随机变量ξ的方差(variance)，记作Var ξ, Var ξ=()2E E ξξ- (1) 但Var ξ的量纲与ξξ的标准差(standard deviation). 方差是随机变量函数()2 E ξξ-的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式
Var ξ=2()d ()x E F x ξ ξ+∞ -∞-?=22()(),,()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞ -∞?-=???-?∑?离散型，连续型 (2) 进一步，注意到 ()2 E E ξξ-= ()222E E E ξξξξ??-+??=()22E E ξξ- 即有 Var ξ=()2 2 E E ξξ-. (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η. 解 利用(3)式 2 E ξ= ∑=i i i x P x ) (2 ξ=72×+82×+92×=, Var ξ= ()2 2E E ξξ-=82=. 同理, Var η= ()2 2 E E ηη-= = > Var ξ, 所以η取值较ξ分散. 这说明甲的射击技术较好. 例2 试计算泊松分布P(λ)的方差. 解 2 2 01 ! (1)!k k k k E k e k e k k λ λ λλξ∞ ∞ --====-∑∑ 1 1(1) (1)! (1)!k k k k k e e k k λ λ λλ∞ ∞ --===-+--∑∑ 2 ! ! j j j j j e e j j λ λ λλλ λ∞ ∞ --===+∑∑ 2 λλ=+ 所以Var ξ=22 λλλλ+-=. 例3 设ξ服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var ξ.
23. 协方差分析
23. 协方差分析 一、基本原理 1. 基本思想 在实际问题中，有些随机因素是很难人为控制的，但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。这种影响的变量称为协变量（一般是连续变量）。 例如，研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的，而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。 协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独立，且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量，而协方差分析中既包含了定性变量（控制变量），又包含了定量变量（协变量）。 协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析，是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法，其中的协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致，即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。 当有一个协变量时，称为一元协方差分析，当有两个或两个以上
的协变量时，称为多元协方差分析。 2. 协方差分析需要满足的条件 （1）自变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差； （2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是非水平的平行线。否则，就有可能犯第一类错误，即错误地接受虚无假设； （3） 自变量与协变量相互独立，若协方差受自变量的影响，那么协方差分析在检验自变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，自变量对因变量的间接效应就会被排除； （4）各样本来自具有相同方差σ2的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 二、协方差理论 1. 观测值=均值+分组变量影响+协变量影响+随机误差. 即 ()ij i ij ij y u t x x βε=++-+ （1） 其中，X 为所有协变量的平均值。 注：在方差分析中，协变量影响是包含在随机误差中的，在协方差分析中需要分离出来。 用协变量进行修正，得到修正后的y ij (adj)为 (adj)()ij ij ij i ij y y x x u t βε=--=++
自相关函数
自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等 同于自协方差(autocovariance)。 统计学 R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2} 信号处理 R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt，其中“*”是卷积算符，(\cdot)^*为取共轭。 同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t 的函数，它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时，则 成为信号的均方值，此时它的值最大。 编辑本段 自相关函数的性质 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维 情况推广得到。 对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶 函数 当f为实函数时，有： R_f(-\tau) = R_f(\tau)\, 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\, 其中星号表示共轭。 连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离 散型自相关函数亦有此结论。 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和 的自相关函数等于各自自相关函数之和。 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外 的所有点均为0。 维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功 率谱密度函数是一对傅里叶变换对： R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df
第三章 协方差传播律 使用
第三章 协方差传播律 一、 公式汇编 广义传播律 T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ?=?=??=?220022 002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ?=??=??=?T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ? =??=??=? 独立观测值权倒数 2 2211221111Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? 方差与协因数阵 202020XX XX YY YY XY XY D Q D Q D Q σσσ===22022 020i ii j jj ji ij Q Q Q σσσσσσ=== 2 210 XX XX XX D Q P σσ-== 权2 02i i p σσ= 二、 解题指南 1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式 ,XX X D 2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式 ),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i == 全微分 写成矩阵形式： dZ KdX =
3应用协方差传播律求方差或协方差阵。 T ZZ XX D KD K = 三、 例题讲解 在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为： 1 23?4010'30"??5005'20"?8944'10"L L L L ????????==?????????????? ??633363336LL D --????=--????--?? 解：1.观测量 及其方差 123????L L L L ????=??????? ? ??633363336LL D --????=--????--?? 2.写出函数式 1 2 3 3 ??sin sin ??sin sin a b L L S S S S L L == 线性化 013 2 3 ??ln ln ln sin ln sin ??ln ln ln sin ln sin a b S S L L S S L L =+-=+- 11332 2 3 3 ????cot cot ????cot cot a a a b b b dS S L dL S L dL dS S L dL S L dL =-=- 写成矩阵形式 11 332 33???cot 0cot ???0cot cot ?a a a b b b dL dS S L S L dS dL dS S L S L dL ??????-??==?????? -??????? ????? 1 313 2 33??cot cot ?0???cot cot ?0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρ ρ????-? ????? ? ?==????? ???????-???? ??? ?133?1146041??09625?dL dL KdL dL ρ????-??==????-???????? 3.应用协方差传播律求方差或协方差阵 263311460114604136309620962533645Dss ρ--???? -??????=--??????-??????----???? 1 2 3 ???,,L L L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss
相关协方差相关函数内积点击等概念
>> temp1=[1 2 3]; >> temp2=[3 4 1]; >> xtemp=temp1.*temp2 %matlab所谓的向量点击，结果还是向量！！！！！！！ xtemp = 3 8 3 >> te=temp1*temp2' %这是数学上两个向量点击,然后在matlab里面的计算方法，结果就是一个值了，含义是两个向量的相似度！！不过没有归一化（没有 按照方差归一） te = 14 >> 2.相关和协方差的关系：如函数： function rou=calcuateSimilary(Beye,data_new) %Beye,data_new前者是去噪前的18*751的数据，后者去去噪后的18导的 %%下面是用概率论里面的相关系数来做的，分别计算比如18导各自的相关系数，结果是18*1的向量 [m,n]=size(Beye); rou=zeros(m,1); for i=1:m temp=cov(Beye(i,:),data_new(i,:));%没有办法，cov函数不像数学公式，matlab的cov函数得到的一定是一个协方差矩阵 %所以对两个向量而言，取反斜对角的任何一个（对称的）就是他们两个的方差。然后按照下面的其实是一个归一化公式 %就是得到了两个向量的相关系数，也其实是衡量的两个变量的相似程度（而且是归一化以后的，否者不好衡量），注意 %注意和信号处理里面的相关函数区分，相关函数在0点的值就是两个变量没有归一化的协方差也就是上面的那个temmp值（如果去了均值，内积就是协方差 %见信号处理里面的什么交流功率和直流功率和相关函数的关系那个图），而相关函数在其它点的值是为了衡量信号如果错位后的相似程度。如果错位后两个 %信号居然达到最大的值，那表示这两个信号时间上延迟后才最像或者说有可能是同一个信号的延迟再现，所以用在衡量寻找信号的潜在周期嘛。 rou(i)=temp(1,2)/(sqrt(cov(Beye(i,:)))*sqrt(cov(data_new(i,:)))); end
相关系数与协方差的关系
探究协方差与相关系数 罗燕 摘要：协方差),(Y X Cov 是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数，如果将协方差相应标准化变量就得到相关系数),(Y X Corr 。从而可以引进相关系数),(Y X Corr 去刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度。且事实表明，相关系数明显被广泛应用。本文的目的在于从协方差与相关系数的关系的角度去探讨协方差与相关系数的优缺点，并具体介绍协方差和相关系数这两个描述二维随机变量间相关性的特征数。 关键字：协方差),(Y X Cov 相关系数),(Y X Corr 相互关联程度 1 协方差、相关系数的定义及性质 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，若E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }存在，则称此数学期望为X 与Y 的协方差，并记为Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }，特别有Cov(X,X)=)(X Var 。 从协方差的定义可以看出，它是X 的偏差“X-E(X) ”与Y 的偏差“Y -E(Y)”的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下： ·当Cov(X,Y)>0时，称X 与Y 正相关，这时两个偏差 [ X-E(X) ] 与[ Y -E(Y) ] 同时增加或同时减少，由于E(X)与E(Y)都是常数，故等价于X 与Y 同时增加或同时减少，这就是正相关的含义。 ·当Cov(X,Y)<0时，称X 与Y 负相关，这时X 增加而Y 减少，或Y 增加而X 减少，这就是负相关的含义。 ·当Cov(X,Y)=0时，称X 与Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X 与Y 相互关联程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X 表示人的身高，单位是米(m )，Y 表示人的体重，单位是公斤(k g )，则Cov(X,Y)带有量纲(m ·kg )。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下： 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，且)(X Var >0,)(Y Var >0.则称 ),(Y X C o r r =)()() ,(Y Var X Var Y X Cov =y x Y X Cov σσ),( 为X 与Y 的（线性）相关系数。 利用施瓦茨不等式我们不难得到-1≤),(Y X Corr ≤1.也就是说相关系数是介于-1到1之间的，并且可以对它作以下几点说明： ·若),(Y X Corr =0，则称X 与Y 不相关。不相关是指X 与Y 没有线性关系，但也有可能有其他关系，比如平方关系、立方关系等。 ·若),(Y X Corr =1，则称X 与Y 完全正相关；若),(Y X Corr =-1，则称X 与Y 完全,负相关。
方差与协方差理解
§2方差、协方差与相关系数 2.1方差 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为 p 8 9<6 7 8 9 10^ 巴.Q1 0.6 01 丿 ” :vQ1 0.2 0.4 0.2 01 丿 问哪一个技术较好？ 首先看两人平均击中环数，此时 E =E =8，从均值来看无法分辩孰优孰劣 ?但从直观上 看，甲基本上稳定在 8环左右，而乙却一会儿击中 10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此 从直观上可以讲甲的射击技术较好 . 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的 离散程度. 称-E 为随机变量 对于均值 E 的离差（deviation ），它是一随机变量.为了给出一个描述 离散程度的数值，考虑用 E -E ，但由于E -E = ^ - E =0对一切随机变量均 成立，即' 2 的离差正负相消，因此用 E -E 是不恰当的.我们改用 E E 描述取 值的离散程度，这就是方差 Vat=EZ 叮 deviatio n ）. 2 方差是随机变量函数（一 一E 」）的数学期望，由§的⑸式，即可写出方差的计算公式 (x 「E )2P 「二 xj,离散型， 巴 产(x-E?2 dFKx) f 「(x-E?2 pKx)dx ,连续型. Var - ■ = a - = L -°0 进一步，注意到 E G —E ? 2 = E F -2春 +(E ： )2] = E ?2 -(E ? )2 即有 许多情况，用（3）式计算方差较方便些 例1（续）计算例1中的方差Var 与Var . 定义1 2 存在，为有限值, 就称它是随机变量 ■的方差(varianee)，记作 Var -, 但Var ?的量纲与 不同，为了统一量纲，有时用 Var ，称为 的标准差（standard (1) Var _E 2_ E
matlab 协方差概述
引用MATLAB... -matlab 协方差 [n,d]=numden(ex):变为有理分式形式，提取最小分母因子d,相应份子公因子n XLimMode…:轴范围模式 直方图平衡：hellostep 不克不及包容交互式操作、动画、步伐调试等，包含上述号令的步伐也不克不及运行，只能在MATLAB中运行后再复制到notebook中； Error：引发、显示指定的错误 Laplace变换：laplace C和C 同享库 Dbclear：清除断点 Welch方法：对分段的数据施用非长方形，减低由于叠合引起段间的计数相关性，也有助于克服长方形窗的旁瓣效应 双线性变换法：求出s=f(z),然后带到模拟滤波器的函数表达式H(s)，得到数字滤波器的H(z)供给的函数为[bz,az]=bilinear(b,a,Fs).
XTick…:确定轴刻度位置 椭圆滤波器：ellipap(n,rp,rs) 鼠标键盘对应原则 约束最小二乘法设计，施用户在设计FIR滤波器的时无须定义幅值响应中的过渡带H=fircls(n,f,a,up,lo)up和lo长度和a相称时分别描写各频带最大限度和下限的向量a 的长度和f不必相称 M文件中包含了所有GUI组建的callbacks（回调函数），自己填写相关里容即可其中的函数有： 随机数天生：所有函数基于rand，randn，且以rnd末端 Any（a）或 prec默认uint8，fid文件句柄
Evaluate loop：循环运行输入细胞 count1可选N，inf，[M,N]；prec取值精度，默以为uchar Isinteger 判断整容类型 Axes：坐标轴比例设置 描写随机序列的模子有：自回归(AR)模子、移动均等(MA)模子、自回归移动均等(ARMA)三种 MCC是调用MATLAB编译器的号令 17.4 MATLAB引擎 XTickMode…:刻度位置模式 harmmean调和均值 Libpointer：创建一个指向外部库指针 3.3 字符与字符串 12.1 函数的表示
方差协方差和相关系数
§2 方差、协方差与相关系数 一、方差 二、协方差 三、相关系数 四、矩 一、方差 例1 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数ξ分 布为 ξ： 789010601...?? ??? η：67 891001 02040201.....?? ???. 问哪一个技术较好？ 首先看两人平均击中环数，此时8E E ξη==，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度. 称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用()E E ξξ-，但由于 ()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均成立，即ξ的离差正负相消，因此用 ()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用()2 E E ξξ-描述取值ξ的离散程度，这就是方差. 定义1 若 () 2 E E ξξ-存在，为有限值，就称它是随机变量ξ的方差 (variance)，记作Var ξ, Var ξ=()2 E E ξξ- (1) 但Var ξ的量纲与ξ ξ的标准差
(standard deviation). 方差是随机变量函数()2 E ξξ-的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的 计算公式 Var ξ=2()d ()x E F x ξ ξ+∞-∞-?=22()(),, ()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞ -∞?-=???-?∑?离散型，连续型 (2) 进一步，注意到 ()2 E E ξξ-=()222E E E ξξξξ??-+??=()22E E ξξ- 即有 Var ξ=()2 2E E ξξ-. (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η. 解 利用(3)式 2 E ξ= ∑=i i i x P x ) (2 ξ=72×0.1+82×0.8+92 ×0.1=64.2, Var ξ=()2 2E E ξξ-=64.2--82=0.2. 同理, Var η=()2 2E E ηη-= 65.2-64 = 1.2 > Var ξ, 所以η取值较ξ分散. 这说 明甲的射击技术较好. 例2 试计算泊松分布P(λ)的方差. 解 2 2 01 ! (1)!k k k k E k e k e k k λ λ λλξ∞ ∞ --====-∑∑ 1 1(1) (1)!(1)!k k k k k e e k k λ λ λλ∞ ∞ --===-+--∑∑ 2 ! ! j j j j j e e j j λ λ λλλ λ∞ ∞ --===+∑∑ 2 λλ=+ 所以Var ξ=22 λλλλ+-=. 例3 设ξ服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var ξ.
协方差矩阵和相关矩阵
一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵 （1） 其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量之间的协方差可以表示为 （2） 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： （3） 可以进一步地简化为： （4） 协方差矩阵：
（5）其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成： （6） 补充说明： 1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。
2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。 二、相关矩阵 相关系数： 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为： 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
方差与协方差理解
§2 方差、协方差与相关系数 2.1方差 例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为： ξ：78901 0601...?? ??? η：67 891001 02040201.....?? ???. 问哪一个技术较好？ 首先看两人平均击中环数，此时8E E ξη==，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度. 称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用()E E ξξ-，但由于()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均 成立，即ξ的离差正负相消，因此用()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用( )2 E E ξξ-描述取 值ξ的离散程度，这就是方差. 定义1 若()2 E E ξξ-存在， 为有限值，就称它是随机变量ξ的方差(variance)，记作Var ξ, Var ξ=( )2 E E ξξ- (1) 但Var ξ的量纲与ξ 不同，为了统一量纲，有时用ξ的标准差(standard deviation). 方差是随机变量函数( )2 E ξξ-的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式 Var ξ=2()d ()x E F x ξ ξ+∞ -∞-?=22()(),, ()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞ -∞?-=???-?∑?离散型，连续型 (2) 进一步，注意到 ()2 E E ξξ-=()222E E E ξξξξ??-+??=()22E E ξξ- 即有 Var ξ= ()2 2 E E ξξ-. (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η.
从自协方差数出发, 建立MA(2)模型如下
从自协方差函数()()4.3,664.2,4084.7,,210-=γγγ出发, 建立MA(2)模型如下: 0102030405060708090100 -8 -6-4-202468 10 02468 101214161820 Lag S a m p l e A u t o c o r r e l a t i o n Sample Autocorrelation Function (ACF)
⒈ 利用公式 ??? ? ??∏-???? ??=???? ??C A b b 212211 γγσ 20T C C σγ=-∏ 其中1 lim T k k k k -→∞ ∏=ΩΓΩ，0100A ??= ???，10C ?? = ???，1212k k k k γγγγ+??? Ω= ???L L 计算出0000.42 =σ 和)8500.0,3600.0(),(21-=b b 。 ⒉所要求的模型为21*85.0*36.0--+-=t t t t X εεε t Z ∈，其中{}t ε是)4,0(WN 。 附：Matlab 程序 A=[0 1;0 0;]; C=[1;0]; gamma=[-2.664;3.4]; k=50; Omega=zeros(2,k); Omega(1,1)=-2.664; Omega(2,1)=3.4; Omega(1,2)=3.4; Gamma=zeros(k,k); for i=1:k Gamma(i,i)=7.4084; end for i=2:k Gamma(i,i-1)=-2.664; Gamma(i-1,i)=-2.664; end for i=3:k Gamma(i,i-2)=3.4;
方差分析与协方差分析
方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 方差分析的作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。 经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。 方差分析的分类及举例
一、单因素方差分析 （一）单因素方差分析概念理解步骤 是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生 了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。 例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。 单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。 单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=S SA+SSE。 单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。 （二）单因素方差分析原理总结 容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起
协方差的意义和计算公式
协方差的意义和计算公式 学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。 很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。 为什么需要协方差？ 上面几个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊，嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义： 来度量各个维度偏离其均值的程度，标准差可以这么来定义：
协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎，嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的，越猥琐女孩子越讨厌，可能吗？如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。 从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如： 协方差多了就是协方差矩阵 上一节提到的猥琐和受欢迎的问题是典型二维问题，而协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算n! / ((n-2)!*2) 个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义： 这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个简单的三维的例子，假设数据集有三个维度，则协方差矩阵为 可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。 Matlab协方差实战 上面涉及的内容都比较容易，协方差矩阵似乎也很简单，但实战起来就很容易让人迷茫了。必须要明确一点，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。这个我将结合下面的例子说明，以下的演示将使用Matlab，为了说明计算原理，不直接调用Matlab的cov函数(蓝色部分为Matlab代码)。 首先，随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数。mysample = fix(rand(10,3)*50)
方差分析与协方差分析
方差分析 方差分析（Aｎalysis of Ｖａriaｎcｅ，简称AＮＯVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是Ｒ.A.Fiｓher发明的,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 方差分析是从观测变量的方差入手,研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。 方差分析的作用 一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素,各因素之间的交互作用,以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。 经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息,应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。 方差分析的分类及举例
一、单因素方差分析 （一)单因素方差分析概念理解步骤 是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素方差分析。 例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。 单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。 单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:SST＝S ＳA＋SＳE。 单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。 (二）单因素方差分析原理总结 容易理解:在观测变量总离差平方和中,如果组间离差平方和 所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,
方差及协方差
方差 方差和标准差： 英文：v ariation and standard dev iation 右图为计算公式Variance's f orm ula 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度，称为X的方差。 定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或D X。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 S^2=[(x1-x拔)2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(x n-x拔)^2]/n 方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。 （1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(c X)=(c^2)D(X)。 （3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。 方差是标准差的平方 协方差 一、定义 协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。 方差知道吧。。。 两个不同参数之间的方差就是协方差 若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。 定义 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作C OV(X，Y)，即C OV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。 协方差与方差之间有如下关系： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)