第三章 离散时间信号的变换域分析

e jnl j nl
e jnl j nl
n
x
l
sin
n
n
l
l
n
x
l
n
l
x
n
其中，sin
n
n
l
l
1 0
n l n l
nl
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence）
e jn0 G(e j )
G(e j(0 ) )
dG(e j ) j
d
G(e j )H (e j )
1 G(e j )H (e j( ) )d
2
g[n]h*[n] 1 G(e j )H *(e j )d
2
Table 3.3 复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系
序列
x[n] x[n]
subplot(2,1,1);
k=0:1:M-1;
stem(k,abs(U)); title('DFT抽样点的幅度'); xlabel('频率序号k');ylabel('幅度'); subplot(2,1,2);
stem(k,angle(U)); title('DFT抽样点的相位'); xlabel('频率序号k');ylabel('相位');
l
3.1.6 使用Matlab计算DTFT
k=input(‘频率点数量=’);
subplot(2,2,3)
num=input(‘分子系数=’);
plot(w/pi,abs(h));grid;
den=input(‘分母系数=’);
title(‘幅度谱’);
w=0:pi/(k-1):pi;
xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘幅度’);
arg{X (e j )} arg{X (e j )}
注:xev[n]和 xod [n]分别代表着x[n] 的偶部和奇部
3.1.5 能量密度谱
g
g
n
n
2
1
2
G e j
2
d
Sgg e j G e j 2
Sgg e j rgg [l]e j l
l
Sgh e j rgh[l]e j l
sin N
sin N
2k 2 2k
e
j 2k / N N 1/ 2
2N
X e j
1
N 1
X
k
sin N 2k 2 e j 2k / N N 1/ 2
N
k 0
sin N 2k
2N
3.3.2 DTFT 采样 DFT
Y k
X
e j
2k X N
序列
离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n] xod [n]
对称关系
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
X re (e j ) jX im (e j )
X (e j ) X * (e j ) X re (e j ) X re (e j )
X im (e j ) X im (e j ) X (e j ) || X (e j ) |
lim
X e j
X K e j
2
d 0
K
例：理想低通滤波器
HLP e j
1
0
0 c c
hLP
n
1
2
c e jnd
c
1
2
e jcn jn
e jcn jn
sin c n n
hLP
n能量为
c
，但不绝对可加
（
hLP
n
2
1
2
H LP e j
e j
nu n e jn
n
ne jn
n0
n0
e j
n
1
1 e
j
傅立叶频谱的性质：
1.
Xre e j X e j cos Xim e j X e j sin
X e j
2
X re e j
2
Xim e j
2
tan
Xim e j X re e j
2.
pause;
subplot(2,1,1);
n=0:1:N-1;
stem(n,real(u)); title('时域抽样点实部'); xlabel('时间序号n');ylabel('幅度');
subplot(2,1,2);
stem(n,imag(u)); title('时域抽样点虚部'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');
例3.12
K=input('输入离散傅立叶变换长度='); N=input('输入离散傅立叶逆变换长度=');
k=1:K;
U=(k-1)/K;
u=ifft(U,N);
k=1:K;
stem(k-1,U); title('原DFT抽样点'); xlabel('频率序号k');ylabel('振幅');
1 2
WNrn
WNrn
X
k
1 2
Nn01WNrk N
N 1
WNrk N
n0
N N 0
/2 /2
k r k N r otherwise
DFT和IDFT的运算量：N 2次复乘，N（N 1）次复加
3.2.2 矩阵关系
DFT：令x x0，x1， ，xN 1T，X X 0，X 1， ，X N 1T，则
3.3 DTFT与DFT的关系
3.3.1 DFT 插值 DTFT
X e j
N 1
x
n0
n
e jn
1 N
N
1
N
1
X
n0 k0
k Wnkn e jn
1
N 1
X
k
N 1
e jne j2kn / N
N
k 0
n0
N 1 e
n0
j 2k / N n
1 e jN 2k 1 e j 2k / N
3.1 离散时间傅立叶变换
X (e j ) x[n]e j n n
X (e j ) 为复数，可以表示为: X (e j ) X re (e j ) X im (e j ) X (e j ) e j
其中 arg X (e j )
X (e j )：傅立叶频谱（Fourier spectrum）
K
令X K e j xne jn，一致收敛的定义为
nK
lim X e j
K
XK
e j
0
如果 xn ，则X K e j 一致收敛，即xn的DTFT存在
n
X e j xne jn xn
n
n
2、均方收敛（mean square convergence） （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加）
xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 度’);
subplot(2,2,2)
plot(w/pi,imag(h));grid;
频率点数量=256
title(‘虚部’);
分子系数=[0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008]
xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘振幅’); 分母系数=[1 2.37 2.7 1.6 0.41]
傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：
x n 1 X e j e jnd
2
证明：
x n 1 2
n
x
l
e
jl
e
j n d
x
n
l
1 2
e
j n l d
x l
n
1 2
3.2.1 定义
3.2 离散傅立叶变换
DFT： IDFT：
N 1
X k X e j
x n e j2kn/ N
2 k / N n0
N 1
xnWNkn n0
0 k N 1
X k 为N点有限长序列，WN e j2 / N
x
n
1 N 1
X
N k0
k
W kn N
0 n N 1
对实序列，有
X e j ，Xre e j 为的偶函数 ，Xim e j 为的奇函数
3、X e j 为的连续函数，且为周期函数，周期为2
证明：
X e j12k
x n e j12 k n
n
x n e e j1n j 2 kn
n
x n e j1n
n
X e j1
证明：
N1
x
n0
n
WNln
N 1
n0
1 N
N 1 k 0
X
k
WNkn WNln
1 N
N 1 N 1
X
n0 k0
k
W kln N
1
N 1
X
N k0
k
N 1
W kln N
X
n0
l
N1 WNk l n
n0
N 1
e
n0
j 2 N
lkபைடு நூலகம்n
1 e j2 k l 1 e j2 k l / N
X DNx
其中
1 1
1
1 WN1
WN2
DN
1
WN2
WN4
1 WNN 1 WN2N 1
1
WNN 1
WN2N 1
WNN
1
N
1
IDFT： 其中
x DN1X
1 1
1
1 WN1
WN2
DN1
1
WN2
WN4
1 WNN 1 WN2N 1
1
WNN 1 WN2N 1
1 N
D*N
WNN
X (e j ) ：幅度函数（magnitude function）或幅度谱（magnitude spectrum）
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
例：1. n的DTFT
e j n e jn 1 n
2.x n nu n， 1
X
1N
1
3.2.3 用MATLAB计算DFT
例3.11
N=input('输入序列的长度='); M=input('输入离散傅立叶变换长度='); u=[ones(1,N)];
U=fft(u,M);
t=0:1:N-1;
stem(t,u); title('原始时域序列'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅'); pause;
N 0
k l rN otherwise
例1：
xn
1 0
n 0 DFT X k 1
otherwise
xn
1 0
nm otherwise
DFT
X
k
WNkm
例2： xn cos2rn / N 0 n N 1 0 r N 1
x n
1 e j2rn/ N e j2rn/ N 2
主要内容：
傅立叶变换 －离散时间傅立叶变换（Discrete-Time Fourier Transform，DTFT) （定义、收敛条件、性质） – 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT) （定义、性质）
Z变换（定义、收敛条件、逆变换、性质）
3.1.1 定义
e j 2 k / N
x l WNkl
l
y
n
1
N 1
Y
N k0
k
W kn N
1 N
N 1
x
k 0 l
l WNklWNkn
x
l
l
1 N
N 1
WN
k 0
k
nl
xn mN n
0 n N 1
1 N
N 1
W knl N k 0
1 0
x*[n] Re{ x[n]} j Im{ x[n]}
xcs [n] xca [n]
离散时间傅立叶变换
X (e j )
X (e j )
X * (e j )
X
cs
(e
j
)
1 2
{X
(e
j
)
X
*
(e
j
)}
X
ca
(e
j
)
1{X 2
(e
j
)
X
* (e
j
)}
X re (e j )
jX im (e j )
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系
2
d
1
2
c
d
c）
n
c
3、非绝对可加或均方可加信号的DTFT
阶跃序列：un
1 0
n0 n0
正弦序列：xn Acos0n
指数序列：xn A n
常用DTFT对
nDTFT1
1DTFT 2 2k
k
unDTFT
1
1 e
j
k
2k
e j0n DTFT 2 0 2k
k
nun，
1
DTFT
1
1 e
j
3.1.3 带限信号（Bandlimited Signals)
频谱只占0 中一部分的信号 例：低通信号 0 p （带宽（band width）为 p）
带通信号 0 L H （带宽为H L）
3.1.4 DTFT的性质
1. 一般性质 2. 复序列的对称性 3. 实序列的对称性
Table 3.2 序列的离散时间傅立叶变换的基本性质
性质
序列
离散时间傅立叶变换
线性 时移 频移 频率微分 卷积 相乘
帕斯瓦尔公式
g[n]
G(e j )
h[n]
H (e j )
g[n] h[n]
g[n n0 ]
e j0n g[n]
ng[n] g[n] h[n] g[n]h[n]
G[e j ] H[e j ]
h=freqz(num,den,w);
subplot(2,2,4)
subplot(2,2,1)
plot(w/pi,imag(h));grid;
plot(w/pi,real(h));grid;
title(‘相位谱’);
title(‘实部’);
xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘相位，弧