求解非线性方程及方程组的粒子群算法_张建科

位置； 步骤 ５ 根据方程（ ２） ， （ ３） 分别对粒子的速度和位置进行
更新； 步骤 ６ 如满足终止条件， 则输出解； 否则返回步骤 ２。
３．３ 算法伪码描述
Ｎ： 粒子群规模。 Ｐ： 粒子飞行所经历的最好位置。 Ｄ： 粒子的多维向量的维数。 Ｇ： 所有粒子飞行经过的最好位置。 Ｌｂｅｓｔ： Ｐ 所对应的适应值。 ｔ： 迭代次数。 Ｇｂｅｓｔ： Ｇ 所对应的适应值。 Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ＰＳＯ ｂｅｇｉｎ
子群迄今为止搜索到的最优位置满足的预定最小适应阈值。
３ ＰＳＯ 解方程和方程组的步骤
３．１ 问题转化
设非线性方程：
ｆ（ ｘ） ＝０
（ ５）
＊
的全部实根包含在（ ｃ， ｄ） 中， ｘ 为方程（ ５） 的任一固定实根。在
＊
［ａ， ｂ］内只包含方程（ ５） 的一个实根 ｘ ， ［ａ， ｂ］"（ ｃ， ｄ） 。易证方程
令 Ｇ＝ｘｉ ｉｆ （ ｆｉｔｎｅｓｓｉ ＞Ｌｂｅｓｔ）
令 Ｐ＝ｘｉ 更新 Ｌｂｅｓｔ， Ｇｂｅｓｔ ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ ｅｎｄ ｂｅｇｉｎ
４ 数值结果
应用 ＰＳＯ 算法计算以下测试方程如下：
学 习 因 子 ｃ１ ＝ｃ２ ＝１．８， ! 从 １．０ 减 小 到 ０．４， 群 体 规 模 数 为
求解非线性方程及方程组的粒子群算法
张建科 １， ２ 王晓智 ３ 刘三阳 ２ 张晓清 ４ １（ 西安邮电学院应用数理系， 西安 ７１００６１） ２（ 西安电子科技大学理学院， 西安 ７１００７１） ３（ 中国农业发展银行渭南市分行， 陕西渭南 ７１４０００） ４（ 西安电子科技大学软件学院， 西安 ７１００７１）
ｔ＝０ Ｌｂｅｓｔ＝Ｌｂｅｓｔ（ ０） Ｇｂｅｓｔ＝Ｇｂｅｓｔ（ ０） ｗｈｉｌｅ （ ｉ＜Ｎ）
ｗｈｉｌｅ （ ｄ＜Ｄ） 在［ｘｍｉｎ ， ｘｍａｘ ］内随机产生 ｘｉｄ 在［Ｖｍｉｎ ， Ｖｍａｘ ］内随机产生 Ｖｉｄ
ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ 计算粒子 ｘｉ 的适应度 ｆｉｔｎｅｓｓｉ ｉｆ （ ｆｉｔｎｅｓｓｉ ＞Ｇｂｅｓｔ）
３
例 ２ ｆ（ ｘ） ＝ｘ － ２ｘ－ １＝０， ｘ∈［１， ２］
１ 引言
对非线性方程及方程数与变量数一致的非线性方程组问 题， 传统数值方法多使用目标函数的导数信息， 具有较快的、与 初值有关的局部收敛性。如牛顿法， 是一种非常有效的局部搜 索迭代方法。文［２， ３］给出了信赖域算法， 但同样使用了初始点 和导数信息。对一些强非线性方程和方程组， 传统方法易导致 失败， 有效性低。因此， 研究针对强非线性方程和方程组的高效 算法是一个较有意义的问题。
（ １） 在指定变量空间搜索解， 有全局特点， 避免了传统算法 的局部性。
（ ２） 高度的适应性、鲁棒性和并行性。 由于粒子群算法有这些优良性质， 使得它不依赖于初始点 和 目 标 函 数 的 导 数 信 息 。方 程 和 方 程 组 问 题 可 以 转 化 为 函 数 优
化问题， 因此可以把粒子群算法推广到解非线性方程及方程 组。实验结果表明了算法的有效性。
例 ７ １ ０００ １６２．４８８ ３７２
４３
－ ０．７０７ ７２４ １．５００ ６６８ 搜到 ２６ 次 ０．８６
０．０００ １１４ ０．９９９ ８１７ 搜到 １７ 次
例 ８ １ ０００ １５０．８８０ ０００
５０
１．５４６ ３１４ １．３９１ １５２ 搜到 ４０ 次 １
１．０６７ ３０７ ０．１３９ ０１２ 搜到 １０ 次
基金项目： 陕西省自然科学研究项目（ 编号： ２００３ Ａ ０９） 作者简介： 张建科（ １９７８－ ） ， 男， 硕士研究生， 研究方向： 优化算法。王晓智（ １９６４－ ） ， 男， 高级工程师， 研究方向： 优化算法。刘三阳（ １９５９－ ） ， 男， 教授，
博导， 研究方向： 最优化理论及应用。张晓清（ １９８１－ ） ， 男， 硕士研究生， 研究方向： 优化算法。 ５６ ２００６．０７ 计算机工程与应用
２ ＰＳＯ 算法思想
粒 子 群 算 法 源 于 对 鸟 群 觅 食 行 为 的 研 究 。研 究 者 发 现 鸟 群 在 飞 行 中 经 常 会 突 然 改 变 方 向 、散 开 、聚 集 ， 其 行 为 不 可 预 测 ， 但其整体总保持一致性， 个体和个体间也保持着最适宜的距 离。通过对类似生物群体行为的研究， 发现生物群体中存在一 种社会信息共享机制， 它为群体的进化提供了一种优势， 这也 是粒子群算法形成的基础。
假设在一个 Ｓ 维的目标搜索空间中， 有 ｍ 个粒子组成一 个 群 体 ， 其 中 第 ｉ 个 粒 子 表 示 为 一 个 Ｓ 维 的 向 量 ｘｉ ＝（ ｘｉ１ ， ｘｉ２ ， … ， ｘｉＳ ） ， ｉ＝１， ２， … ， ｍ， 则 第 ｉ 个 粒 子 在 Ｓ 维 搜 索 空 间 中 的 位 置 即每个粒子的位置就是一个潜在的解。将 ｘｉ 代入一个目标函数 就可以算出其适应值， 根据适应值的大小衡量解的优劣。第 ｉ 个 粒 子 的 飞 翔 的 速 度 是 Ｓ 维 向 量 ， 记 为 Ｖ＝（ Ｖｉ１ ， Ｖｉ２ ， … ， ＶｉＳ ） 。 记 第 ｉ 个 粒 子 迄 今 为 止 搜 索 到 的 最 优 位 置 为 Ｐｉｓ ＝（ Ｐｉ１ ， Ｐｉ２ ， … ，
Ｐａｒ ｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒ ｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍ
Ｚｈａｎｇ Ｊ ｉａｎｋｅ１，２ Ｗａｎｇ Ｘｉａｏｚｈｉ３ Ｌｉｕ Ｓａｎｙａｎｇ２ Ｚｈａｎｇ Ｘｉａｏｑｉｎｇ４ １（ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｘｉ＇ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｏｓｔ ａｎｄ Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ， Ｘｉ＇ａｎ ７１００６１） ２（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ＇ａｎ ７１００７１）
（ ４）
在式（ ３） 中 ! 为非负数， 称为动力常量， 控制着前一速度
对当前速度的影响， ! 较大时， 前一速度影响较大， 全局搜索能
力较强； ! 较小时， 前一速度影响较小， 局部搜索能力较强。通
过调整 ! 的大小来跳出局部极小值。" 为约束因子， 用来控制
速度的权值。
迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数或粒
Ｅ－ ｍａｉｌ： ｊｉａｎｋｅｚｈ＠１６３．ｃｏｍ
摘 要 用随机搜索性能良好的粒子群算法求解非线性方程及方程组问题， 计算中不需使用目标函数的导数信息； 实验 结果表明了该算法的有效性。
关键词 粒子群算法 非线性方程 非线性方程组
文章编号 １００２－ ８３３１－ （ ２００６） ０７－ ００５６－ ０３ 文献标识码 Ａ 中图分类号 Ｏ２２４； ＴＰ１８
（ １）
ｔ＋１ ｔ ｔ
ｘｉｓ ＝ｘｉｓ ＋ｖｉｓ
（ ２）
其 中 ， ｉ＝１， ２， … ， ｍ， ｓ＝１， ２， … ， Ｓ； 学 习 因 子 ｃ１ 和 ｃ２ 是 非 负
常数； ｒ１ 和 ｒ２ 为伪随机数， 服从［０， １］上的均匀分布。ｖｉｓ ∈［－ ｖｍａｘ ，
ｖｍａｘ ］， ｖｍａｘ 为常数， 由用户设定。
＊
（ ５） 在［ａ， ｂ］中的根 ｘ 等价于函数：
２
Ｖ（ ｘ） ＝（ ｆ（ ｘ） ）
（ ６）
在［ａ， ｂ］中的极小点。
同理设非线性方程组：
Ｔ
Ｇ（ ｘ） ＝［ｇ１ （ ｘ） ， ｇ２ （ ｘ） ， …， ｇｐ （ ｘ） ］
（ ７）
其中： ａｉ ≤ｘｉ ≤ｂｉ ， ｐ∈Ｎ， ｉ∈Ｎ， ａｉ 和 ｂｉ 为 变 量 向 量 ｘ 的 分 量
ＰｉＳ ） ， 整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为 Ｐｇｓ ＝（ Ｐｇ１ ， Ｐｇ２ ， …， ＰｇＳ ） 。
Ｋｅｎｎｅｄｙ 和 Ｅｂｅｒｈａｒｔ 最 早 提 出 的 粒 子 群 算 法 采 用 下 列 公
式对粒子操作：
ｔ＋１ ｔ
ｔ
ｔ
ｖｉｓ ＝ｖｉｓ ＋ｃ１ ｒ１ （ ｐｉｓ － ｘｉｓ ） ＋ｃ２ ｒ２ （ ｐｇｓ － ｘｉｓ ）
２０， 最 大 进 化 代 数 为 １ ０００， 用 ＶＣ＋＋６．０ 编 程 ， 算 法 运 行 ５０ 次 ，
取平均值。
３
例 １ ｆ（ ｘ） ＝ｘ － ２ｘ－ ５＝０， ｘ∈［－ ４， ４］
要求
ｆ（ ｘｎ ）
－６
＜１．０×１０
计算机工程与应用 ２００６．０７ ５７
表 ２ ＰＳＯ 解非线性方程组数值结果
ＰＳＯ 算法流程如下：
步骤 １ 初始化一个规模为 Ｎ 的粒子群， 设定初始位置和
速度；
步骤 ２ 计算每个粒子的适应值；
步骤 ３ 对每个粒子将其适应值和其经历过的最好位置
Ｐｉｓ 的适应值进行比较， 若较好， 则将其作为当前的最好位置； 步骤 ４ 对每个粒子将其适应值和全局经历过的最好位置
Ｐ ｇｓ 的 适 应 值 进 行 比 较 ， 若 较 好 ， 则 将 其 作 为 当 前 的 全 局 最 好
ｘｉ 的上下限。方程组（ ７） 等价于：
ｐ
&２
Ｍ（ ｘ） ＝ ｃｊ （ ｇｊ （ ｘ） ） ａｉ ≤ｘｉ ≤ｂｉ
（ ８）
ｊ＝１
的最优解。其中 ｃｊ （ ｊ＝１， ２， …， ｐ） 为加权系数。
３．２ 算法步骤
ＰＳＯ 算法中的适应值函数取 为 Ｖ（ ｘ） （ Ｍ（ Ｘ） ） 。 终 止 条 件 ：
所有粒子飞行经过的最好点的值小于给定的误差 #。
１９９５ 年 ， Ｋｅｎｎｅｄｙ 和 Ｅｂｅｒｈａｒｔ 提 出 了 一 种 粒 子 群 算 法 ［１］ （ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ＰＳＯ） 。因其易于理解， 易实现， 很 多情况下比遗传算法更有效， 所 以 短 短 十 年 的 时 间 ＰＳＯ 算 法 在优化问题， 电路设计， 系统辨识等领域得到了很好的应用。 ＰＳＯ 算法的优势在于：
令 Ｇ＝ｘｉ 更新 Ｌｂｅｓｔ， Ｇｂｅｓｔ ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ ｔ＝ｔ＋１ ｗｈｉｌｅ （ 终止条件未满足时） ｗｈｉｌｅ （ ｉ＜Ｎ） ｗｈｉｌｅ （ ｄ＜Ｄ） 计算 Ｖｉｄ 计算 ｘｉｄ ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ 计算粒子 ｘｉ 的适应度 ｆｉｔｎｅｓｓｉ ｉｆ （ ｆｉｔｎｅｓｓｉ ＞Ｇｂｅｓｔ）
３（ Ｗｅｉ－ ｎａｎ Ｂｒａｎｃｈ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｂａｎｋ ｏｆ Ｃｈｉｎａ， Ｗｅｉｎａｎ ７１４０００） ４（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｏｆｔｗａｒｅ， Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ＇ａｎ ７１００７１）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒａｎｄｏｍ ｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ， ｔｈｅ ｏｎｃｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒ ｄｓ： Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ
Ｙ．Ｓｈｉ 和 Ｅｅｒｈａｒｔ 在 １９９８ 年对式（ １） 作了如下改进［４］：
ｔ＋１
ｔ
ｔቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｔ
ｖｉｓ ＝!ｖｉｓ ＋ｃ１ ｒ１ （ ｐｉｓ － ｘｉｓ ） ＋ｃ２ ｒ２ （ ｐｇｓ － ｘｉｓ ）
（ ３）
１９９９ 年 Ｍ．Ｃｌｅｒｃ 对式（ ２） 作了如下改进［６］：
ｔ＋１ ｔ
ｔ
ｘｉｓ ＝ｘｉｓ ＋"ｖｉｓ
最大代数 平均代数 搜到解次数 成功率 Ｘ１ 平均值 Ｘ２ 平均值 Ｘ３ 平均值
例 ５ １ ０００ ２０８．３００ ０００
５０
１ － ０．０００ ００１ － ０．０００ ００４ － ０．０００ ００４
例 ６ １ ０００ ２６２．０３７ ０３７
２７
０．５４ ０．０００ ００１ － ０．０００ ０１２ － ０．０００ ００１