平面的投影

画类似形；
对平行面的投影，作图一般先画反映实形的那个投影。
2.4.3 平面的投影的作图与读图
二
在实际中，对特殊位置平面只需要表示它们的空间位
点、 置，因此，多用迹线表示方法。 直 线、 平 面 的 投 影
2.4.3 平面的投影的作图与读图
二
点、 直 线、 平 面 的 投 影
二 2.4.3 平面的投影的作图与读图
二 投影面平行面
点、
侧平面
直 （平行于W面，垂直于V、H面）
线、
平 面 （1）W投影反映实形；
的 投
（2）V投影和H投影均 积聚为直线，且平行于
影 相应投影轴
投影面H的平行面 (侧平面)
V
z
b'
Z
b''
B
a'
a''
xA
o
W X c' a
o
c'' YW
C
b
y
H
c
YH
在平行的投影面上的投影，反映真形；
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何条件 直 线、 平 面 的 投 影
点D在AC上，过点D作DE平行于AB， 所以线DE在AB与AC所确定的平面上
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何条件 直 线、 平 面 的 投 影
点D在AB上，故点D在AB与AC所确 定的平面上
点在平面上的判定：
直
线、 定义：与各平面既不平行也不垂直的平面，简称一般面。
平
面 的
（1）三个投影不反映实 形，也无积聚性投影，均 为小于实形的原形的相仿
投 形；
影 （2）各投影面上的投影
均不反映平面与投影面的
真实倾角。
二 2.4.2 各种位置平面的投影
点、 一般位置平面
直
一般位置平面P
Z
线、 V
Z
平
面 的X 投
点、 平面用多边形表示 直 线、 （1）一平面只要有一面投影积聚为一条倾斜于投影轴 平 的直线，该平面一定是投影面垂直面，并且垂直于该 面 倾斜线所在的投影面； 的 （2）一平面只要有一面投影积聚为一条平行于投影轴 投 的直线，该平面一定是投影面平行面； 影
（3）如果平面的三个投影都是平面图形，该平面一定 是一般位置平面。
点、 投影面垂直面
直
线、 定义：垂直于一个投影面，且倾斜于其余两投影面的
平 平面。
面 分为： 的 与V面垂直的平面，称为
投 正垂面；
影
与H面垂直的平面，称为 铅垂面；
与W面垂直的平面，称为
侧垂面。
二 投影面垂直面
点、 直 线、 （1）V投影积聚为一斜 平 线，与相应投影面间夹 面 角为α和γ ； 的 投 （2）H投影和W投影均 影 为原型的类似形
点、 用几何元素表示平面（非迹线平面）
直
线、 平
（3）相交的两条直线
面
的
投
B
影
A
C
二 2.4.1 平面的表示方法
点、 用几何元素表示平面（非迹线平面）
直
线、 平
（4）平行的两条直线
面
的
投
B
影
A
C
二 2.4.1 平面的表示方法
点、 用几何元素表示平面（非迹线平面）
直
线、 平
（5）任意的平面图形，如三角形、四边形、圆 等
面
的
投
B
影
A
C
用几何元素表示平面（非迹线平面） 较多采用的是用平面图形来表示一个平面
2.4.1 平面的表示法
二
用平面的迹线表示平面
点、 直
平面也可用迹线表示。平面与投影面的交线，称 为平面的迹线，用迹线表示的平面称为迹线平面。
线、 平V
Z
迹线
迹线
Z
面
PV
PV
PW
的
P
W
0
投X
0 PW
X
YW
影
P平面对V、H、W面相交得 到的交线P分H 别被称为水平面
以要作辅助线。
例：已知点K的V面投影k’，且与平面图形ABC共面，如
二 图所示，完成点K的水平投影。
点、 直 线、 平 面 的 投 影
作图： （1）在V面上连接k’c’交a’b’于d’ （2）作d’的H面投影，连接cd并延长，与k’的垂线交于k
例：平面由平行两直线AB、CD 所确定，已知K 点在此
W
X
P0
0 YW
影 Y YH
它的三个投影都仍是平面图形，而且面积缩小
二 2.4.3 平面的投影的作图与读图
点、 平面投影的作图
直
线、 包括：平面的空间位置和平面的形状
平
面
的
任何平面
平面多边形
投 对某一投影作图，可按点、线的投影作图规则进行作图。 影 对垂直面的投影，作图一般按实际倾角先画积聚先、再
二
投影面V的垂直面P（正垂面）
点、 直 线、 平X 面 的 投 影
Z
Z
V
P
W
αγ 0
0
X
YW
Y
YH
投影特性：
P在投影面V的投影积聚为一条线，它与OX、OY的夹角反映α、γ 角的真实大小；
P在投影面H及W的投影为的类似形,面积缩小。
在垂直的投影面上的迹线有积聚性；它与投影轴的夹
二
角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角。
的 过该平面上的一个点且平行于该平面上的另一条直线；
投 反之，直线过平面上的两个点或过平面上的一个点且平 影 行于该平面上的另一条直线，则直线一定在该平面上
根据以上两条件之一，就可以在平面上取直线。
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何条件 直 线、 平 面 的 投 影
点D在AB上，点E在BC上，所以 线DE在AB与AC所确定的平面上
二 2.4.1 平面的表示方法
点、 用几何元素表示平面（非迹线平面）
直
线、 平
（1）不在同一直线上的三个点——确定平面位置 最基本的几何元素
面
的
投
B
影
A
C
二 2.4.1 平面的表示方法
点、 用几何元素表示平面（非迹线平面）
直
线、 平
（2）一条直线及直线外的一点
面
的
投
B
影
A
C
二 2.4.1 平面的表示方法
在另外两个投影面上的投影，分别积聚成直线，平行 于相应的投影轴。
二 2.4.2 各种位置平面的投影
点、 投影面平行面的投影特性 直 线、 （1）在所平行的投影面上，平面的投影具 平 有真实性，即反映平面的实形； 面 的 （2）另外两个投影面上，平面的投影具有 投 积聚性，且同时垂直于同一投影轴，反映 影 与相应投影面等距。
影 （3）两条迹线都垂直于投影轴，该平面一定是投影面
平行面，平行面常用一条直线表示平面的空间位置。
课堂练习：P15：3
二 P15：3
点、 直 线、 平 面 的 投 影
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何条件
直
线、
平
直线在平面上的判定：
面 如直线在平面上，则直线一定过该平面上的两个点，或
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何作图
直
线、 例：已知点K的V面投影k’，且与平面图形ABC共面，如 平 图所示，完成点K的水平投影。
面
分析：（1）由ABC的两投
的
影，可知该平面的空间位 置为一般位置平面；
投
（2）因K属于ABC所在的
影
平面，则K满足在已知平
面上取点的几何条件；又
K不在平面△ABC内，所
（)
二 2.4.2 各种位置平面的投影
点、 空间平面对投影面的三种位置：
直
线、
平 面
垂直于投影面—— 投影面垂直面； 平行于投影面—— 投影面平行面； 倾斜于三个投影面—— 一般位置平面
的
投 平面与投影面H、V、W的夹角，分别用小写希腊字母 影 α、β、γ来表示。
二 2.4.2 各种位置平面的投影
二 平面内，并知K 的水平投影k，求k′。
点、 直 线、 平 面 的 投 影
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 几何作图 直 线、 例：已知平面ABCD的H 平 面投影，如图所示，完 面 成平面的V面投影。 的 投 作法: 影 (1)利用相交线
投影面平行面的迹线表示法
二
在平行的投影面上无迹线。
点、
在另外两个段影面上的迹线有积聚性，且平行于相应 的投影轴。
直
线、
Z 平面P上的点A
Z
平
V a'
a'
面
A a''
W
的 X
P
投
a
0 PH
X
0
影
PW Y
a
PW
a'' PH
YW
投影面V的平行面P
YH
二 2.4.2 各种位置平面的投影
点、 一般位置平面
0
YW
的
投
Y
影
YH
二 投影面垂直面
点、
直
线、
平 （1）H投影积聚为
面 一斜线，与相应投影 的 轴面间夹角为β和γ ；
投 影
（2）V投影和W投 影均为原型的类似形
二 投影面垂直面
点、
直
线、
平 （1）W投影积聚为
面 一斜线，与相应投影
的 轴面间夹角为β和α；
投 影
（2）V投影和H投影 均为原型的类似形
第二章 点、直线、平面的投影
二、
点
直 线
§ 2.1 § 2.2 § 2.3
投影的基本知识 点的投影 直线的投影
平 面
§ 2.4 平面的投影分析
的 投
§ 2.5 线、面相对位置
影
二 § 2.4 平面的投影分析
2.4.1 平面的表示方法
点、 直 平面是广阔无边的，平面的有限部分的投影，称为 线、 平面图形。 平 面 平面的确定 的 由初等几何知识可知，不在同一直线上的三点确定 投 一个平面。由此，平面可以有两种表示方式：非迹 影 线平面（几何元素）和迹线平面。
点在平面上，则该点 一定在该平面上的一 条直线上；
反之，点在平面上的 一条直线上，则点一 定在该平面上。
二 2.4.4 属于平面的直线和点
点、 直 线、 平 面 的 投 影
几何作图
在平面上取点，必须先在平面上作一辅助线， 然后在辅助线的投影上取得点的投影；
在平面上取直线时，要利用平面上的点，而在 平面上取点时，又要利用平面上的直线，两者 之间相辅相成。
影 于相应投影轴
二
投影面V的平行面 (正平面)
V
z
点、
b' Z
b''
直 线、 平 面x 的
B
o
C
AW
c'
X
a'
a''
c''
o
YW
投 H
影
yc
ba
YH
在平行的投影面上的投影，反映真形； 在另外两个投影面上的投影，分别积聚成直线，平行
于相应的投影轴。
二 投影面平行面
点、
水平面
直 （平行于H面，垂直于V、W面）
直Baidu Nhomakorabea
线、 定义：平行于一个投影面，且垂直于其余两投影面的 平 平面。
面 分为： 的 与V面平行的平面，称为
投 正平面；
影
与H面平行的平面，称为 水平面；
与W面平行的平面，称为
侧平面。
二 投影面平行面
点、
正平面
直
（平行于V面，垂直于H、W面）
线、
平 面 （1）V投影反映实形；
的 投
（2）H投影和W投影 均积聚为直线，且平行
二 2.4.3 平面的投影的作图与读图
平面在两投影面体系用迹线表示
点、
直
当平面在两投影面体系用迹线表示时，读图时要注意：
线、 （1）两条迹线都倾斜于投影轴，该平面一定是一般位 平 置平面；
面 （2）一迹线倾斜于投影轴，另一迹线垂直于投影轴，
的 该平面一定是投影面垂直面，垂直面常只用一条斜线
投
表示平面的空间位置；
平面上一切直线的迹点必在该平面的同面迹线上。 求迹线投影的方法：求出平面上任意两条直线的两对
同面迹点，将每对同面迹点相连。
用平面的迹线表示平面
二
例：求做图中平面的迹线
点、 直 线、 平 面 的 投 影
分析：（1）在图中，因两投 影都是一般位置直线，两相交 直线即可确定一个平面； （2）平面的迹线是该面迹点 的集合，因此只需求出各投影 面迹线上的两个同面迹线并连 接即可。
在另外两个投影面上的迹线．分别垂直于相应的投影
轴。
点、
直
Z
平面P上的点A
Z
线、 V
PW
平 面 的X 投 影
a' PV
PH
P
PW W
A 0
a''
a
Y
a'
PV
γ
X
α
0
PH a
a'' YW
投影面V的垂直面P （正垂面）
YH
二
正垂面的迹线简化表示法
点、
Z
Z
直V
线、
PW
平 面X
PV
0
PH
P
W
X
PV γ
α
铅垂面
Z c'
a'
a''
b'
X
o
a
β
cγ
侧垂面
b'
Z
c''
c'
b'' a'
YW X
o
b
c
b''
β c''
α a''
YW
b YH
a
YH
在垂直的投影面上的投影，积聚成直线；它与投影轴 的夹角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角，
在另外两个投影面上的投影仍为平面图形，面积缩小。
二 2.4.2 各种位置平面的投影
线、
平 面 （1）H投影反映实形；
的 投
（2）V投影和W投影 均积聚为直线，且平行
影 于相应投影轴
投影面H的平行面 (水平面)
V
z
Z
a' b' c' b'' a'' c''
A
B
WX
o
YW
C
x
o
b
a y
H
c
YH
在平行的投影面上的投影，反映真形；
在另外两个投影面上的投影，分别积聚成直线，平行 于相应的投影轴。
点、 投影面垂直面的投影特性 直 线、 （1）在直线所垂直的投影面上，平面的投 平 影积聚为倾斜的直线，该积聚投影与相应轴 面 间夹角分别等于与另两个投影面的真实倾角； 的 投 （2）另外两个投影面上的投影，均为小于 影 实形的原图形的类似形。
二 2.4.2 各种位置平面的投影
点、 投影面平行面
PH
迹线PH，正面迹线PV、Y侧面
迹线Pw
YH
二 2.4.1 平面的表示方法
点、 用平面的迹线表示平面
直
线、 在用迹线表示的平面上，可以作出表示该平面的任 平 一组几何要素。反之，用任一组几何要素表示的平
面 面——非迹线平面，也可求出其迹线，因为迹线是
的
平面与投影面的交线，是该面迹点的集合。
投
影