《复变函数》期末总结

argtg
y . x 2
Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2
2.
求根：
i
由 z= e
=r(cos +isin )得
z =e
n
in
=
r
n
(cosn +isinn ) （*1）
当 r=1 时， 当
(cos i sin ) = (cos n i sin n )
C
重要公式
2 π i, n 0, dz n 1 ( z z0 ) 0, n 0. | z z0 | r
c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
f ( z0 )
1 f ( z) d z. 2 π i C z z0
n! f ( z) dz n 1 2πi ( z z ) 0 C
c.用留数计算实积分：
2π

0
R (cos , sin ) d
形如：
的积分，一般令 z= ei
使用条件：R(x,y)变量 x，y 的有理函数，并且在单位圆上分 母不为零。
形如


R( x) d x 的积分
使用条件：函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比 分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积 分是存在的.
f ( z ), z 0 ] 1 2 i

C
f (z) d z
( 5 .3 )
利用课本 P93-94 三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 （没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握） b.利用留数定理求积分：
C n
f ( z ) d z 2 π i Res[
k 1
f ( z ), z k ].
(如第三章的习题 9)
f.三角函数和双曲函数：
e cos z 只需记住：
iz
e iz e iz e iz , sin z . 2 2i
其他可自己试着去推导一下。
反三角中前三个最好自己记住，特别 因为下一章求积分会用到 (arctan z ) 5.复变函数的积分
, 1
z
2
1
以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人理解，如有问 题可提出来。例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。 里面全部附有答案（如果找不到的可找我要） 。复变看书是 作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。
(3.17)
(3.20)
f ( n ) ( z0 )
n 1, 2,。
d.调和函数：
百度文库
2 2 ( x, y )调和: 2 2 0 x y
一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本 P52 中的例 3.11 中三 种解法即可。 6.级数
a.熟知课本 P59 定理 4.2 及其推导（其中 1 最重要）性质。 b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。 c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。 （方法同于高 数级数） d.泰勒级数：
其余可由式：
1 1 z z 2 ( 1) n z n , | z | 1. 1 z
直接推导。 （注意各展开式的[z]取值范围） e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含 Z 的负次 数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。 （即当洛朗 展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式） f.零点，奇点，极点 零点:即使得函数 f(z)=0 的点。
奇点：即使得函数 f(z)无意义的点。 （P82 定理 4.18 的三条关 于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征） 奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。 可去奇点：即洛朗展开式中不存在 Z 的负次数方幂。 本性奇点：即展开式中存在 Z 的负无穷次方幂。 一般奇点：即展开式中存在 Z 的有限次负次数方幂。 极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。 极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。 （奇点容易判断， 极点可借助 P83 定理 4.19 判断同时可以学 会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用） P84 定理 4.22：极点和零点的关系。 7.留数 a.留数定理： R e s [
i e e i i , , e ,i 能够区分：
当底数不为 e 时，w= z a = eaLnz (幂指数为 Ln 而非 ln) 的计算。
e y e y cos iy ch y 2 (2.15) 及 y y e e sin iy i sh y 2i i 1 iz Arctg z Ln 2 1 iz
4
1 i
3.复函数： a. 一般情况下：w=f(z),直接将 z=x+iy 代换求解 但遇到特殊情况时：如课本 P12 例 1.13（3）可考虑： z= ei =r(cos +isin )代换。
b. 对 于 P12 例 题 1.11 可 理 解 为 高 中 所 学 的 平 面 上 三 点 （A,B,C）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA c.对于 P15 例题 1.14 中可直接转换成 X 和 Y 的表达式后判断 正负号来确定其图像。 d.判断函数 f(z)在区域 D 内是否连续可借助课本 P17 定义 1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达 式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定 可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k ) e.幂函数：底数为 e 时直接运算（一般转换成三角形式）
(5 .7 )
有些情况下利用留数和定理：
Res[ f ( z ), ]

n
Res[ 1 2 π i
f ( z ), z
k 1
k
]
1 2 π i
C

f (z) d z

C

f (z) d z 0.
更便于求解
1 1 Res[ f ( z ), ] Res f z z 2 ,0 特殊转换：

f ( z ) cn ( z z 0 ) n
n 0
成立, 其中cn
五个重要初等函数展开式：
1 (n) f ( z0 ), n 0,1,2, . n!
( 4 .8 )
z2 zn e 1 z . 2! n!
z
z3 z5 z 2 n 1 n sin z z ( 1) 3! 5! ( 2 n 1 )! ( 4 . 10 ) z2 z4 z 2n n cos z 1 ( 1) 2! 4! ( 2 n )! ( 4 . 11 )
a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路 径无关只与出没位置有关。 （勿乱用） 例如: zdz 与路径无关。而 zdz 与路径有关。
c c
b.柯西-古萨基本定理：当函数 f(z)在以简单闭曲线 C 为边界 的有界区域 D 内解析且在闭区域上连续时：
f ( z) d z 0

形如：

e
ix
f ( x )dx
的积分
使用条件:其中 f(z)在 Imz≥0 内除可能有有限各孤立奇点外 处处解析，并且当 z 在 Imz≥0 上时 P104 引理 5.3 中（5.15） 式成立。 （具体理解大家可参考课本中的例题） 老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1 P88-11（1-6） P113-5、相关例子 P55-7（1、2）、相关例子 P79-80 例、P89-16（2、5） P97 例、P113-6（1-5） P46-例、P47 例、P55-8 P90-18（1、2、3） P114-8、相关例子
复变函数期末总结 1.幅角（不赞成死记，学会分析）
y x0 arctg x , , x 0, y 0 arg z 2 y arctg , x 0, y 0 x , x 0, y 0 2 -∏<arg z≤∏ Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 其中
n
w
n
z
求方根公式(牢记!):
w=
n
z n re
i
2 k
n
n r cos 2n k i sin 2n k 其中k 0,1, 2, , n 1。
(sin i cos )10 例： 5 5
（*2）
arg z


可直接利用（*1）式求解 可令 z=1+i,利用（*2）式求解