8概率论第八讲.

收敛的意义下逼近某一常数.
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定理1的另一种叙述形式
设随机变量X1，X 2 ,, X n ,相互独立，且具
有相同的数学期望和方差：E( X k ) , D( X k ) 2
(k

1,2,)，则序列X

1 n
n k 1
X k 依概率收敛于，即
则对任意的ε>0，有
X

1 n
n k 1
Xk
lim P{| X | }
n
--ln-i -m--海P洋{与| 气n1象in学1 院X大i 气科学|系--}---- 1
辛钦
证明 由于
E
1 n
n
X
k 1
k


1 n
n
E
k 1
(
X
k
)

1 n
引入随机变量
Xi

1 0
A在第i次试验中发生 A在第i次试验中不发生
则有 X X1 X 2 X n nA
Xi是服从（0，1）分布的，且X1, X2, …, Xn相互独立。
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由定理1即得
lim P{|
n
nA n

p | } 1
说明
1、定理中{|
1 n
n i 1
Xi

|
}是指一个随机事件，
当n 时，这个事件的概率趋于1.
2、定理以数学形式证明了随机变量X1 , X n
的算术平均X

1 n
n
i1 X i 接近数学期望E（Xk）

（k 1,2, n），这种接近说明其具有的稳定性.
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率
中心极 限定理
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大数定律的客观背景
1. 随着试验次数增大, 事件发生的频率稳定于某个常数; 2. 实践中大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 人们正是研究了这些稳定性得到了大数定律。
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
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n


D
1 n
n
X
k 1
k


1 n2
n
D( Xk )
k 1

1 n2
n 2

2
n
由切比雪夫不等式
P

1 n
n
X
k 1
k






1

2
2
n
上式中令 n 得
--ln-i-m--海P洋{与| 气n1 象in1学X院i 大气科|学系}-----1-
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请注意 :
P
Xn a
意思是: 当 n 时，Xn落在
(a , a ) 内的概率越来越大。
Xn
a a
a
而 X n a 意思是: 0, n0 | Xn a | , 即Xn落在 (a ,a ) 内。
设nA是n次独立重复试验中事件A发生 的次数，p是事件A在每次试验中发生的概
伯 努 利
率，则对于任意正数ε>0 ，有
lim P{| nA p | } 1 或 lim P{| nA p | } 0
n
n
n
n
证明 因为nA ~ b(n, p),由此可表示为
见教
nA X1 X2 Xn
第五章 大数定律和中心极限定理
大数定律 中心极限定理
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本章要解决的问题：
答复
1．为何能以样本均值作为总体 期望的估计？
2．为何能以某事件发生的频 率作为该事件的概率的估计？
大数 定律
3．为何正态分布在概率论中 占有极其重要的地位？
4．大样本统计推断的理论 基础是什么？
§5.1 大数定律
一、依概率收敛
设{Xn}为随机变量序列，a为常数，若任给 >0, 使得
lim
n
P{|
Xn

a
|

}

1
则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 Xn P a.
p
p
性质: 设 Xn a,Yn b, 函数 g(x, y) 在 (a, b) 连续,
p
则 g( Xn ,Yn ) g(a, b).
材 P103
其中Xi相互独立，且都服从以p为参数的（0 1）例6
分布。 因而E( X i ) p，D( X i ) p(1 p),
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教材P103例6说明：
设服从于 b(n, p)的随机变量 X 是 n 重伯努得试验中事 件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p，
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X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小.
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性.

lim
n
P{|
1 n
(
X
1

X2


Xn)

p
|

}

1
或
lim P{| nA p | } 0
n
n
证毕
说明 伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大
时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较 大偏差的概率很小.
事件发生的频率可以代替事件的概率.
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伯努利大

小结
数定律
大 数
切比雪夫 大数定律
定
律
辛钦大数
定律
lim P{| nA p | } 1
n
n
nA ~ b(n, p)
lim
X P .
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问题:
设nA是n 重贝努里试验中事件A发生的次数，p是 事件A发生的概Байду номын сангаас，
nA 是事件A发生的频率. n
事件发生的频率能否代替事件的概率，频率 是否具有稳定性呢？
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定理2（伯努利大数定律）
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二、几个常用的大数定律
弱大数定理 辛钦大数定理
定理1（切比雪夫定理的特殊情况）
设随机变量X1, X 2，，X n ,相互 独立，且具有相同的数学期望和方差：
E( Xk ) , D( Xk ) 2(k 1, 2, ).
切比雪夫
做前 n 个随机变量的算术平均