第七章平行线的证明复习导学案
第七章 平行线的证明复习导学案
第七章 平行线的证明复习导学案主备人：赵晓芬 授课时间______ 总课时_______一、学习目标﹕(1分钟,学生朗读并熟悉)（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）会用平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等解题；二、导学思考题第一环节 知识回顾 (7分钟,小组讨论后,交流汇报)1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？第二环节 典例精析(8分钟,师生共同探究解决)例1、如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB .例2、如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A =55°，求∠BDC的度数．例3、如图，BE ，CD 相交于点A ，∠DEA 、∠BCA 的平分线相交于F . 探求：∠F 与∠B 、∠D 有何等量关系？CA B D 1 2例4、如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上．点P 是△ABC 内一点，求证：∠P >∠A ;三、巩固练习(12分钟,学生独立完成,教师反馈)书中196页19、20、21、35、37题四、课堂小结(3分钟,学生谈收获)1、通过本节课的学习我收获了什么？2、我还有哪些没有解决的困惑？五、达标测评(8分钟,学生独立完成后教师反馈)1、下列语句是命题的是 【 】(A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点2、如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是 【 】(A)75º (B)45º (C)105º (D)135º3、 以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题是 【 】(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°(B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°(C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°(D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°4、若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定5、如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB ,则∠DEC 等于【 】（A ）63° (B) 118°(C) 55° （D ）62° 6、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】（A ）锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形（D ）无法确定 六、布置作业(1分钟)1、教材196页19、20题2、教材199页35题D 第10题。
部编人教版八年级上册《平行线的证明》复习教案
第七章平行线的证明回顾与思考一、学生情况分析学生的技能基础：学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步．学生活动经验基础：学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础二、教学目标是：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；数学能力：（1）培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力；（2）掌握证明的步骤与格式．三、教学过程设计第一环节基础知识夯实过1.为什么要证明？要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。
2.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？证明题的基本步骤是什么？对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义 .判断一件事情的句子,叫做命题.命题由条件和结论组成。
3.平行线的性质定理是什么？4.平行线的判定定理是什么？第二环节基础题型一遍过1.下列语句是命题的有（ 135 ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（5）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！（1）同角的补角相等；（真）（2）同位角相等，两直线平行；（真）（3）若|a|=|b|，则a=b；（假）3.阅读下列解题过程，在括号内填出理由：已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°（1）∵∠1=∠ABC(已知)∴AD∥ BC (同位角相等，两直线平行)(2)∵∠3=∠5(已知)∴AB∥ DC ( 内错角相等，两直线平行)(3)∵∠2=∠4(已知)∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)(4)∵∠1=∠ADC(已知)∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行)(5)∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）∴AB∥DC(同旁内角互补，两直线平行)4.已知：如图，∠1+∠2=180° .求证：∠3=∠4.54321BC DA证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）∠1+∠2=180°（已知）∴∠1+∠5=180°（等量代换）∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°，则∠BED=__________.第三环节综合提升探索过6.已知：如图，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD. 证法一：如图，过点C作CF∥AB.∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥ED（已知）∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）即：∠BCD=∠ABC+∠CDE证法二：如图，延长BC交DE于点G∵AB∥DE（已知）∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义）∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1）∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．7.已知：如图，直线AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
平行线的有关证明复习教案
平行线的有关证明复习教案【课题】平行线的有关证明复习【课型】复习【教学目标】知识：掌握定义、命题、公理和定理等概念,知道命题的结构，会判断命题的真假，进一步理解平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤.能力：1.经历归纳《平行线的有关证明》知识体系的过程，培养学生的观察、分析和进行较复杂的综合应用的能力.2、能灵活运用进行计算和证明.情感：通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.【教学重难点】教学重点：知识体系的熟练掌握。
教学难点：能灵活运用进行计算和证明.【教学方法】尝试指导、引导发现与讨论相结合.【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入（2010山东烟台）1、将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2= .（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习设计意图（让学生亲身经历问题的发生、发展过程，培养了学生自主探究的学习习惯和能力。
）知识点归纳（A）关于命题、定理及公理1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的。
2. 判断一件事情的句子，叫做。
3. 每个命题都由和两部分组成。
4. 正确的命题称为，不正确的命题称为。
想要判定一个命题是假命题只需要,而要说明一个命题是真命题则需.5. 公认的真命题称为公理（书P82 6条公理）（等量代换）6. 推理的过程称为。
7. 经过证明的真命题称为。
8．由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的（B）平行线的性质及判定判定：（1）同位角相等，两直线平行。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明导学案2(新版)北师大版
八年级数学上册第七章平行线的证明导学案2（新版）北师大版2、了解定义、命题、公理和定理的含义、3、平行线的性质定理和判定定理、4、三角形的内角和定理及推论、5、使学生在证明过程中积极投入，全力以赴，享受合作的快乐。
重点：1、平行线的性质定理和判定定理的应用、2、三角形内角和定理及其推论的应用、3、证明的步骤及书写格式、难点：证明过程的书写、一、梳理本章的知识结构图、（举例说明）本章重点：证明一个命题是真命题的基本步骤是：（1）根据题意，（2）根据条件、结论，结合图形，（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，专题研究：1、下列语句中，是命题的为()、A、延长线段AB到CB、垂线段最短C、过点O作直线a∥bD、锐角都相等吗判断的依据是、2、下列命题中是真命题的为()、A、两锐角之和为钝角B、两锐角之和为锐角C、钝角大于它的补角D、锐角大于它的余角3、下列四个命题中，真命题有()、(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等、(2)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2、(3)一个角的余角一定小于这个角的补角、(4)如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补、A、1个B、2个C、3个D、4个解题方法：4、“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是()、A、两条直线B、交点C、两条直线相交D、只有一个交点5、“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________。
解题方法：。
6、若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则三角形各角的度数为( )、A、45，45，90B、30，60，90C、25，25，130D、36，72，72应用的知识点有：。
7、如图所示，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系是()、A、∠ADC＞∠AEBB、∠ADC＝∠AEBC、∠ADC＜∠AEBD、大小关系不能确定应用的知识点是：8、补充理由:如图所示，若∠1+∠2=180，∠1=∠3，EF与GH 平行吗？解：EF∥GH,理由如下∠1+∠2=180（）∴AB∥_______（）又∠1=∠3（）∴∠2+∠________=180（）∴EF∥GH （）9、如图所示，已知直线BF∥DE，∠1＝∠2，求证：GF∥BC、解题技巧：要求两直线平行，需找。
平行线的判定及其性质复习课导学案
=
，
c
∴
∥
。
1
（2））∵
=
，
∴
∥
。
3
a
（3）∵
=
，
4
2
b
∴
∥
。
3、 平行线的性质： （1）文字叙述：
，
（2）数学符号表示：
如图：（1）∵
∥
∴
=
（2））∵
∥
∴
=
（3）∵
∥
∴
=
。 ，
， 。
， 。
， 。
， 。c
1
3
4
2
。
a b
4、平行线的判定用于 平行线的性质用于
。
4
。
3
问题生成拓展训练单
1、 如图所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4 的度数。
《平行线的判定及其性质》复习课
班级：
组名:Βιβλιοθήκη 姓名：自我评价：问题导读单
一、回顾引入：
1、
与
。经过
两条直线都与第三条直线
2、平行线的判定方法：
（1）文字叙述：
，
叫平行。记作 a b ,在同一平面内直线的位置关系是
一点，
一条直线与这条直线平行。如果
，那么这两条直线也互相
。
。 ，
，
。
。
（2）数学符号表示：
如图：（1）∵
2
1
a b
2、 已知：直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么 AB∥CD， MP∥NQ 吗？请说明理由。
E
B
M
1
P
A
D
北师大版数学八年级上册导学案：第七章《平行线的证明》复习案
亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。
当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。
今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。
第七章：平行线的证明 【复习目标】: 1、使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；2、培养学生的逻辑思维能力，规范学生的证明格式。
【复习重点】：如何运用所学的公理、定理解决相关问题。
【复习导航】：本章知识网络：【基础练习】：——。
2．下列句子中，不属于命题的是( )A ．三角形的内角和等于180°B ．对顶角相等C ．过直线外一点作已知直线的平行线D ．两点之间，线段最短 3. 下列四个命题中，属于真命题的是( )A ．互补的两角必有一条公共边B ．同旁内角互补C ．同位角不相等，两直线不平行D ．一个角的补角大于这个角 4. 下列四个命题中，真命题有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）如果∠∠12和是对顶角，那么∠1=∠2。
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角。
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、 三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边边长是8cm ，则最小边长是____________。
6、如图所示，∠=⊥∠=ABC DE BC DF AB F D 3640°，，于，则'// 。
}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（AFB C7、如图所示，AB//CD，∠=∠=∠=111531402°，°，_____________。
平行线的有关证明复习课导学案
（∠1 图2
，AB
是等腰三角形。
F E D C B A
2、下列四个命题中，真命题有（ ）
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2. （3）一个角的余角一定小于这个角的补角。
（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3、如图1所示，AD 平分∠CAE ， ∠B=30°，∠CAD=65°，∠ACD=（ ）
4、如图2所示，AB//CD ，_________2,1403,1151=∠︒=∠︒=∠。
5、如图3所示，︒=∠=∠⊥⊥301,,F EF CD EF AB ，那么与∠FCD 相等的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6、如图4，将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为 .
7、如图5所示，AB ∥CD ，∠ABE ＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_____．
8、如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于（ ）
9、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、无法确定 10、已知，如图，∠
1+
∠2=180°,求证：∠3=∠4.
F E
D C B A。
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案一. 教材分析北师大版2019年八上数学第7章主要讲解平行线的证明。
本章内容是学生进一步深化对直线、射线、线段概念的理解，提高运用几何知识解决实际问题的能力。
通过本章的学习，学生将掌握平行线的判定和性质，为后续学习几何的其他内容打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对几何图形的判断和分析能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导他们发现规律，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的判定和性质，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的判定和性质。
2.难点：如何运用平行线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、交流，发现平行线的判定和性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，分析平行线的应用。
3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、直尺、圆规。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如公路、铁路等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？如何判断两条直线是否平行？呈现（10分钟）1.教师引导学生观察多媒体展示的几何图形，提出问题：如何判断这两条直线是否平行？2.学生通过观察、讨论，发现判定平行线的方法。
操练（10分钟）1.教师提出一组练习题，要求学生运用所学知识判断直线是否平行。
2.学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
巩固（10分钟）1.教师引导学生总结平行线的性质。
2023年苏科版七年级数学下册第七章《探索直线平行的性质》导学案
1 / 4 N M H G E DC BAb a 3412新苏科版七年级数学下册第七章《探索直线平行的性质》导学案一、学习目标：1.掌握平行线的性质，并能运用平行线的性质进行简单的说理、计算。
2.经历探索平行线性质的过程，发展空间观念，提高有条理的思考和表达能力。
二、学习重点： 掌握平行线的性质并解决相关的问题。
三、 教学过程1、探索 ：由角之间的数量关系可以确定两直线平行这种位置关系；反之，两直线平行，又可以决定相关角之间有怎样的数量关系呢？（1）在右面画两条互相平行的直线AB 、CD ，再画直线MN 与直线AB 、CD 相交。
（2）在所画图中找出一组同位角、内错角、同旁内角，并用量角器量出它们的度数。
同位角：_______________________________，它们的度数分别为：__________________。
内错角：_______________________________，它们的度数分别为：__________________。
同旁内角：_____________________________，它们的度数分别为：__________________。
（3）观察各组角度数的关系，你可以得到怎样的结论？（4）你所得到的结论与直线平行的条件有何区别？2、例题讲解例1.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a//b ，∠1=121°，求∠2和∠3的度数。
例2.如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.3、拓展提高1.如图，AB ∥CD,MG 平分∠EMA ，NH 平分∠ENC ，那么MG 与NH 有何位置关系？为什么？cab 3 2 12 / 42.如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ⊥AD ，FB ⊥AD ，垂足分别为A 、B ，∠E=∠F 。
CE 与DF 是否平行？为什么？4、随堂练习一、判断题.1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.( )2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.( )3.两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行.( )二、填空题.1.如图(1),若AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,∠ABC+∠_______=180°; 若DC∥AB,则∠______=∠_______, ∠________=∠__________,∠ABC+∠_________=180°.2.如图(2),在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.3.因为AB∥CD,EF∥CD,所以______∥______,理由是________.4.如图(3),AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:因为∠ECD=∠E,所以CD ∥EF( )又A B∥EF,所以CD∥AB( ).三、选择题.1.∠1和∠2是直线AB 、CD 被直线EF 所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2;C.∠1<∠2D.无法确定2.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是( )A.向右拐85°,再向右拐95°;B.向右拐85°,再向左拐85°C.向右拐85°,再向右拐85°;D.向右拐85°,再向左拐95°5、小结四、课后巩固1.如图所示,如果DE ∥AB, 根据______________________________那么∠A+______=180°或∠B+_____=180°,如果∠CED=∠FDE, 根据_______________________________那么____∥____.；如果∠A=______,根据是____________ __________那么_____∥____.2.①如果AD ∥BC ，那么根据两直线平行，同旁内角互补，得∠__ _+∠ABC =180°；G FE D C B A3 /4 N M G F E D C B A ②如果AB ∥C D ，那么根据两直线平行，同旁内角互补，得∠_____+∠ABC =180°.3.如图所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.4.如图所示,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=•_______.5.如图所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,则∠BOF=_________6.如图所示,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有_______个。
北师大版八年级数学上册第七章 平行线的证明 章末复习导学案
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明章末复习导学案1、本章知识回顾1．命题：判断一件事情的语句．2．公理：公认的正确命题．(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线平行，同位角相等；(3)三边分别相等的两个三角形全等；(4)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(5)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；(6)全等三角形对应边相等，对应角相等．3．定理：经过证明的真命题．(1)内错角相等，两直线平行；(2)同旁内角互补，两直线平行；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)三角形三个内角的和等于180°；(6)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(7)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；(8)三角形的外角和等于360°．4．证明：推理的过程．2、课堂精讲精练【例1】下列各命题是假命题的是(D)A．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形B．每个角都等于60°的三角形是等边三角形C．如果a3＝b3，那么a＝bD．对应角相等的三角形是全等三角形【跟踪训练1】下列5个命题：①同旁内角互补；②等角的余角相等；③全等三角形的周长相等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；⑤对于函数y＝－0.2x＋11，y随x的增大而增大．其中是真命题的有②③(填序号)．【例2】如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC，AE，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)∠BAE＝∠DAC；(2)∠3＝∠BAE；(3)AD∥BE.证明：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，即∠BAE＝∠DAC.(2)∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE.∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠BAE.(3)∵∠3＝∠BAE，∠BAE＝∠DAC，∴∠3＝∠DAC.∴AD∥BE.【跟踪训练2】如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F.(1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分∠ABC.试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E＋∠F＝90°.解：(1)AD∥BC.理由如下：∵∠ADE ＋∠BCF＝180°，∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∴∠BCF ＝∠ADC.∴AD ∥BC.(2)AB∥EF.理由如下：∵AF 平分∠BAD，∠BAD ＝2∠F，∴∠BAF ＝12∠BAD＝∠F. ∴AB ∥EF.(3)①∵AB∥EF，∴∠ABE ＝∠E.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC ＝2∠ABE＝2∠E.②∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC＝180°.∵∠BAD ＝2∠F，∠ABC ＝2∠E，∴2∠E ＋2∠F＝180°.∴∠E ＋∠F＝90°.【例3】 如图，在△ABC 中，三条内角平分线AD ，BE ，CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC ＝60°，求∠BOD 和∠COG 的度数；(2)若∠ABC＝α，∠BAC ＝β，猜想∠BOD 和∠COG 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠OAB ＝12∠BAC＝30°，∠OBA ＝12∠ABC＝20°. ∴∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝50°.∵CF 平分∠ACB，∴∠OCG ＝12∠ACB＝12(180°－∠ABC－∠BAC)＝40°. ∴∠COG ＝90°－∠OCG＝50°.(2)∠BOD 和∠COG 相等．理由如下：∠BOD ＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB＝90°－∠OCG ＝∠COG.【跟踪训练3】 在△ABC 中，射线AG 平分∠BAC 交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动(不与点G 重合)，过点D 作DE∥AC 交AB 于点E.(1)如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分∠EDB.①若∠BAC＝100°，∠C ＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系？请说明理由；(2)如图2，点D 在线段BG 上运动时，∠BDE 的角平分线所在直线与射线AG 交于点F ，试探究∠AFD 与∠B 之间的数量关系，并说明理由．解：(1)②∠AFD＝90°＋12∠B.理由如下： ∵DE ∥AC ，∴∠EDB ＝∠C.∵AG 平分∠BAC，DF 平分∠EDB，∴∠BAG ＝12∠BAC，∠FDG ＝12∠EDB＝12∠C . ∵∠DGF ＝∠B＋∠BAG，∴∠AFD ＝∠DGF＋∠FDG＝∠B＋∠BAG＋∠FDG＝∠B＋12(∠BAC＋∠C) ＝∠B＋12(180°－∠B) ＝90°＋12∠B.(2)∠AFD＝90°－12∠B.理由如下： ∵∠EDB ＝∠C，∠BAG ＝12∠BAC，∠BDH ＝12∠EDB＝12∠C， 又∵∠AH F ＝∠B＋∠BDH，∴∠AFD ＝180°－∠BAG－∠AHF＝180°－12∠BAC－∠B－∠BDH ＝180°－12∠BAC－∠B－12∠C ＝180°－∠B－12(∠BAC＋∠C) ＝180°－∠B－12(180°－∠B) ＝180°－∠B－90°＋12∠B ＝90°－12∠B.。
八年级数学上册 7 平行线的证明导学案(无答案)(新版)北师大版
第七章平行线的证明【学习目标】1、进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论.2、掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.3、理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用.4、进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.【学习重点】1、平行线的性质定理和判定定理的应用.2、三角形内角和定理及其推论的应用.3、证明的步骤及书写格式.【学习过程】模块一回顾与思考独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容.1、什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2、平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3、三角形内角和定理是什么？4、与三角形的外角相关有哪些性质？5、证明题的基本步骤是什么？【我的疑惑】模块二合作探究例1 （2013•抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A.∠1=∠3B.∠5=∠4C.∠5+∠3=180°D.∠4+∠2=180°例2 （2014•怀化模拟）如图，能确定l1∥l2的α为（）A.140°B.150°C.130°D.120°例3 已知，如图6－82，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.模块三小结评价一、本章知识结构：模块四形成提升1、（2014•汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）A.∠C=∠AB EB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠AB E2、下列语言是命题的是( )A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗？C.延长线段AO到C，使OC=OAD.两直线平行，内错角相等.3、（2014•长春）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A.15°B.30°C.45°D.60°4、已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒 ( B)一般 (C) 没发挥出来 (D)还需努力.。
第七章平行线的证明导学案
第七章平⾏线的证明导学案第七章平⾏线的证明导学案1、为什么要证明⼀、读⼀读学习⽬标：1、对由观察、归纳等过程所得的结论进⾏思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识；2、体会检验数学结论的常⽤⽅法：实验验证、举出反例、推理等。
⼆、试⼀试⾃学指导：1、⼤胆猜想: 如教材P162提出的问题2、某学习⼩组发现，当n=0,1,2,3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有⾃然数n, n 2-n+11的值都是质数。
你认为呢？由此可知：要判断⼀个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的，必须有根有据地进⾏推理。
三、练⼀练A1、请在教材上完成P163随堂练习1、2；P164数学理解1A2、当n 为正整数时，132++n n 的值⼀定是质数吗？n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …n 2-n+11是否是质数A3、⼋（1）班有39位同学，他们每⼈将⾃⼰的学号作为n 的取值（n=1，2，3，…39）代⼊式⼦412++n n ，结果发现式⼦412++n n 的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的⾃然数，式⼦412++n n 的值都是质数。
”你认为这个猜想正确吗？验证⼀下n=40的情形。
B1、给出教材P164数学理解3问题的结论，你能⽤理由肯定⾃⼰的结论吗？B2、阅读P163“读⼀读”班级⼩组姓名⼩组评价教师评价2 定义与命题（1）⼀、读⼀读学习⽬标：了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。
⼆、试⼀试⾃学指导：1、研读教材P165-166完成下列问题：（1）什么是定义？定义：。
（2）如右图某地的⼀个灌溉系统如果B 处⽔流受到污染，那么处⽔流便受到污染；如果C 处⽔流受到污染，那么处⽔流便受到污染；如果D 处⽔流受到污染，那么处⽔流便受到污染；“如果……那么……”都是对事情进⾏判断的句⼦。
叫做命题。
2、下列语句为命题的是（）A 、你吃过午饭了吗？ B、过点A作直线MNC、同⾓的余⾓相等D、红扑扑的脸蛋三、练⼀练1、在教材上完成P166-167的随堂练习及习题2、下列语句中，是命题的是 ( )(A)直线AB和CD垂直吗(B)过线段AB的中点C画AB的垂线(C)同旁内⾓不互补，两直线不平⾏(D)连结A、B两点3、已知下列命题：①相等的⾓是对顶⾓；②互补的⾓就是平⾓；③互补的两个⾓⼀定是⼀个锐⾓，另⼀个为钝⾓；④平⾏于同⼀条直线的两直线平⾏；⑤邻补⾓的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（）A、0B、1个C、2个D、3个4、下列命题不正确的是( )(A)⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形(B)直⾓三⾓形斜边上的⾼等于斜边的⼀半(C)等腰梯形同⼀底上的两个⾓相等(D)有⼀个⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形四、课堂⼩结1、①定义的含义：对和的含义加以描述，作出明确的，就是它们的定义；②命题的含义：⼀件事情的句⼦，叫做命题，如果⼀个句⼦没有对某⼀件事情作出任何判断，那么它就不是命题．2、命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。
八年级上册北师大版第七行平行线的证明学案道客巴巴
八年级上册北师大版第七行平行线的证明学案学案名称：八年级上册北师大版第七行平行线的证明学习目标：1.掌握平行线的证明方法。
2.能够运用平行线的性质解决实际问题。
3.培养逻辑推理能力和数学思维能力。
学习内容：一、平行线的定义及性质1.平行线的定义：在同一平面内，两条永不相交的直线称为平行线。
2.平行线的性质：（1）同位角相等：两直线平行，同位角相等。
（2）内错角相等：两直线平行，内错角相等。
（3）同旁内角互补：两直线平行，同旁内角互补。
二、平行线的证明方法1.证明两直线平行的方法：（1）同位角相等：如果两直线的同位角相等，则这两直线平行。
（2）内错角相等：如果两直线的内错角相等，则这两直线平行。
（3）同旁内角互补：如果两直线的同旁内角互补，则这两直线平行。
2.证明多条直线平行的条件：（1）如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也平行。
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
三、平行线在实际生活中的应用1.交通标志：道路上的斑马线、指示箭头等都是利用平行线的性质来设计的。
2.建筑学：在建筑设计时，利用平行线的性质可以保证建筑物的垂直和平行，提高建筑物的稳定性和安全性。
3.电子工程：在电路设计中，利用平行线的性质可以保证电流的稳定和导线的平行，提高电路的工作效率和稳定性。
学习活动：1.小组讨论：请同学们分组讨论，总结出证明两直线平行的三种方法，并举例说明如何应用。
2.实践操作：请同学们利用平行线的性质，设计一个简单的实际应用方案，例如如何利用平行线的性质来检查一个门是否垂直于地面。
3.练习与巩固：请同学们完成以下练习题，以巩固所学知识。
练习题：1.填空题：（1）如果同位角相等，则两直线____。
（2）如果内错角相等，则两直线____。
（3）如果同旁内角互补，则两直线____。
2.选择题：（1）下列说法中正确的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上说法都不对（2）下列条件中，不能判定两直线平行的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 以上条件都不能判定3.证明题：（1）已知：直线a与直线b平行，直线b与直线c平行。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
最新北师大版八年级上册第7章《平行线的证明》导学案(全章打包,含答案)
7.1 为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．学习行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.2 定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是( D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时命题的证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7.3 平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________7．4 平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形外角的定理【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．学习行为提示：每组抽一位学生上黑板做，其余学生在座位上完成，组长检查每组完成情况，最后老师给每组评分．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有( B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( C)A．50°B．55°C．60°D．65°自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．学习行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．展示目标：通过知识模块一的展示掌握证明三角形外角定理的方法；通过对知识模块二的展示，总结运用三角形外角的定理进行几何证明和计算的一般方法和步骤．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
新北师大版八年级上第七章平行线的证明导学案.doc
新北师大版八年级数学上册7.1为什么要证明导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解通过观察、猜测得到的结论不一定正确；2、要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.【重点难点】要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.知识概览图你能肯定吗⎪⎩⎪⎨⎧推理举出反例实验验证新课导引观察下图中的图形．图(1)中AB，CD的位置关系是怎样的?图(2)中线段a与b相等吗?图(3)中线段d与a，b，c哪一条在同一直线上?【问题探究】观察图形，图(1)中AB∥CD，图(2)中线段a＝b，图(3)中线段d与a在同一条直线上，那么你知道用什么方法来检验对上述问题回答的正确与否呢?点拨对于上面观察得到的数学结论可以用实验验证后加以检验．教材精华知识点观察和实验得到的结论可靠吗教材中首先给出了一个几何问题，经过反复画不同形状的四边形，反复度量，可能会得出“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”的结论，但是我们的度量准确吗?我们所画的几个四边形有足够的代表性吗?我们的结论肯定能成立吗?教材中给出的第二个例子是“对于所有自然数n ，n 2-n +11的值都是质数吗?”这是一个十分容易得出错误结论的问题．事实上，当n =0，1，2，…，9，10时，n 2-n +11的值都是质数，而当n ＝11时，n 2-n +11＝112变成了合数．当我们依次对自然数进行实验时，若次数达不到11，则很可能得出错误结论．教材中给出的第三个例子是“用一根比地球赤道长1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一颗红枣吗?能放进一个拳头吗?”这个问题若凭直觉去判断，偌大一个地球，围赤道的铁丝仅比赤道长1 m ，那还剩什么间隙了，但实际计算一下，又会让人感到意外，铁丝与地球赤道之间的间隙为(C 表示赤道的周长)π＝ππ21221C C -+≈0.16(m)，这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头．通过上面几个例子，会使我们产生这样的认识：通过观察、验证、归纳、猜想所得出的结论未必是正确的，是值得怀疑的．这样就引出了一个问题——如何判断一个数学结论的正确与否呢?拓展 (1)依靠经验、观察或实验能发现一些数学结论．(2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行推理，这也就是证明的必要性．(3)检验数学结论的常用方法：①实验验证；②举出反例；③推理．(4)遇到问题要大胆猜测并尝试用所学知识证明结论．课堂检测基础知识应用题1、当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值都是质数吗?综合应用题2、观察下列各式及其验证过程．.833833322322++＝；＝ 验证：233222222222212223321213-+-++--（）（）＝＝＝＝； 3.833133)13(3133)33(838322233+=-+-=-+-==(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4154的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式所反映的规律，写出用n (n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式，并进行验证．探索创新题3、如图6-2所示，线段AM ∥DN ，直线l 与AM ， DN 分别交于点B ，C ，直线l 绕BC 的中点P 旋转(点C 由 D 点向N 点方向移动)．(1)线段BC 与AD ，AB ，CD 围成的图形在初始状态下，形状是△ABD (即△ABC )，请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形的名称；(2)任取变化过程中的两个图形，测量AB ，CD 的长度后，分别计算每一个图形中的AB +CD (结果精确到1 cm)，比较这两个和是否相等，试说明理由．体验中考1、如图6-5所示的是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．2、如图6—6所示，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE ＝AB ，过点C 作CF ⊥DE ，垂足为E ．(1)猜想AD 与CF 的大小关系； (2)请证明猜想的结论．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 本题主要考查举出反例的方法来判断问题．解：当n ＝40时，式子n 2+n +41＝402+40+41＝412，412不是质数． ∴当n 为正整数时，式子n 2+n +41的值不都是质数． 【解题策略】 解此题的方法是举出反例对问题作出判断．2.解：（1）4，＝1544154验证：4.15441441441444415415422233+-+--+-＝）（＝）（＝＝(2)由题设及(1)可猜想：对于任意自然数n (n ≥2)，都有n,1122-+=-n nn n n验证：n 1)1(1)(112223232-+-=-+-=-=-n nn n n nn n n n n n＝.12-+n nn 【解题策略】 此题运用由特殊到一般的思想对问题作出猜想，并加以推理论证．3、分析 此题用动态的思维方式来研究图形的变化情况．CB 以中点P 为中心，点C 由D 点向N 点移动，且CB 是按顺时针方向旋转的． 解：(1)其余的各种特殊四边形分别为一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形．(2)经测量、计算，两个图形中的AB +CD 都相等．如图6-3所示，过点P 作PP ′∥AM ，交AD 于点P ′，∴PP ′是梯形AB 1C 1D 的中位线，∴AB 1+C 1D ＝2PP ′．同理AB 2+C 2D ＝2PP ′， ∴这两个和是相等的． 体验中考1、 分析 第(1)个图中有4个基础图形，即3×1+1． 第(2)个图中有7个基础图形，即3×2+1． 第(3)个图中有10个基础图形，即3×3+1． 第(4)个图中有13个基础图形，即3×4+1． ……第n 个图中有3·n +1＝3n +1．故填3n +1．【解题策略】 解决本题的关键是准确地找出其中的规律．2、 分析 通过观察，再根据已知条件，可猜想AD ＝CF ．再运用理论进行推理论证猜想的结论正确．解：(1)AD ＝CF ．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ∥AB ， ∴∠AED ＝∠FDC ， ∵DE ＝AB ＝CD ．又∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，在△AED 和△FDC 中，(∠A ＝∠CFD ，∠AED ＝∠FDC ， DE ＝DC )， ∴△AED ≌△FDC ，∴AD ＝CF ．7.2定义与命题学习目标、重点、难点【学习目标】1、 定义和命题的含义；会判断某些语句是不是命题；2、 了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；3、 了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；【重点难点】1、定义和命题的含义2、命题的构成，能区分命题中的条件和结论3、命题中的真命题、假命题、定理的含义知识概览图定义与命题⎩⎨⎧在数学中的应用证明的概念定理公理命题的条件与结论命题定义、、、、、新课导引我们前面学习了很多数学语句，如：能使方程成立的未知数的值，叫做方程的解；三角形的内角和等于180°． 【问题探究】 阅读上述语句你发现有什么特点?点拨 第一句是对“方程的解”的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出“方程的解”的定义；第二句是判断一件事情的句子，我们把它叫做命题．教材精华知识点1 定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．例如：“有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；是“对顶角”的定义.拓展在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别，定义必须严密．知识点2 命题判断一件事情的句子，叫做命题．例如：张平的爸爸是劳动模范；同位角相等，两直线平行；老虎会爬树；小红每次考数学，成绩都是全班第一．这些都是命题．知识点3 命题的条件和结论每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．例如：命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”中，“a＝b，b＝c”是条件，“a＝c”是结论．又如：命题“矩形的四个顶角都相等”中，“矩形”是条件，“四个顶角都相等”是结论.知识点4 真命题与假命题正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．例如：“如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题；“菱形的四个角都相等”是假命题；“等边三角形的三个内角都是60°”是真命题．要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．当说明一个命题是假命题时，常举一个反例．例如：“若a2=b2，则a＝b”这一命题，我们知道(-2)2＝22，但-2≠2，由此可判断“若a2＝b2，则a＝b”是假命题．知识拓展“错误的命题不是命题”是错误的，实际上错误的命题也是命题.知识点5 公理、定理、证明挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．本套教材所选用的公理如下．1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．5．三边对应相等的两个三角形全等．6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．例如：“如果直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c“那么a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是定理．又如：“经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等”是定理．如何证明将在以后的几节中介绍．课堂检测基础知识应用题1、判断下列句子是不是命题．(1)人离不开空气；(2)洪水滔滔；(3)若a>b，b>c，则a>c；(4)自然数不是负数；(5)我们现在学习的图形主要是平面图形；(6)延长线段AB；(7)梯形中没有相互平行的线段．2、下列命题的条件是什么?结论是什么?是真命题还是假命题?(1)每一个有理数都对应数轴上的一个点；(2)一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；(3)小红的三角板中有—个钝角；(4)任何一条线段都是由无数个点组成的．综合应用题3、下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题．指出它是真命题还是假命题．(1)小于直角的角是锐角；(2)一个角的补角只有一个；(3)∠l与∠2是同旁内角吗?(4)直线AB与CD相交于点C；(5)平面内两条相交直线不可能垂直于同一条直线．探索创新题4、某中学开田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果：甲说：“A是第二名，B是第三名．”乙说：“C是第三名，D是第五名．”丙说：“D是第一名，C是第二名.”丁说；“A是第二名，E是第四名．”戊说：“B是第一名，E是第四名．”他们最后都声明：“我们的话只有一半是真的．”求这5名运动员的名次究竟各是多少.体验中考1、判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形，②正三角形是中心对称图形，正确的是( )A. ①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确2、已知下列命题：①若|x|＝3，则x＝3；②当a>b时，若c>0，则ac>bc；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析看一个句子是不是命题，主要看这个句子里是否隐含着条件和结论这两个部分，或者这个句子能否改写咸“如果……那么……”的形式．解：(1)是．(2)不是．(3)是．(4)是．(5)是．(6)不是．(7)是．【解题策略】根据命题的概念及结论来判断2解：(1)条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”．是真命题．(2)条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”．是假命题．(3)条件是“小红的三角板”，结论是“其中有一个钝角”．是假命题．(4)条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”．是真命题．3、分析命题是判断某一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确的还是错误的，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即(3)(4)都不是命题．命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定．在本题所给的语句中，(2)显然是混淆了补角与邻补角的概念，所以(2)是假命题．解：(1)(2)(5)是命题；(1)(5)是真命题；(2)是假命题．【解题策略】首先找出命题，再从命题中指出真命题；学会利用反例来证明一个命题是错误．4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．A B C D E甲2√3×乙3√5×丙2×1√丁2√4×戊1√4×A B C D E甲2×3√乙3×5√丙2√1×丁2×4√戊1×4√解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题是考查轴对称图形和中心对称图形的概念，正三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但它不是中心对称图形而是旋转对称图形．故选C ．解题策略 解决本题的关键是把握好轴对称图形和中心对称图形的概念.2、分析 原命题与逆命题均为真命题的有②③．故选B ．7.3为什么它们平行学习目标、重点、难点【学习目标】1、 熟练掌握证明的基本步骤和书写格式；2、 会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论. 【重点难点】1、 证明的基本步骤和书写格式2、 两直线平行的判定公理及两个判定定理知识概览图为什么它们平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个判定定理的证明两直线平行的判定公理新课导引同学们在物理中学到了潜望镜，如右图所示，在镜管中，AB 与CD 是两块与水平方向成45°角的平面镜，这样水面上的光线就可以进入到人的眼睛．【问题探究】观察上图可知入射光线与射入到人眼的光线是平行的，你知道它们为什么平行吗?点拨因为内错角相等，两直线平行.教材精华知识点1 两直线平行的判定公理及两个判定定理两直线平行的判定公理．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．两直线平行的判定定理．(1)两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．知识点2 利用已有知识证明简单的几何问题证明步骤：(1)根据题意画出图形；(2)依照所画图形，将条件写为已知，结论写为求证；（3）根据已有的定义、定理进行推理论证．知识拓展(1)当题中给出图形、已知、求证时，直接论证即可；(2)为了方便，在证明过程中，用“∵”’代替因为，“∴”代替所以．分别读作因为、所以．规律方法小结1．有关平行线的判定如下表：（推论的概念以后将学到）2．证明两条直线平行有以下几种方法：(1)从“角”的方面去考虑，即去找同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．(2)证平行四边形，得对边平行.（3）三角形三条中位线分别平行于三边．(4)梯形中位线平行于两底．(5)证比例线段，得两直线平行.课堂检测基础知识应用题1、如图6-14所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°．其中能判定a∥b的是( )A．①②③④B．①③④C．①③ D. ②④综合应用题2、如图6-16所示，根据图形及上下文的含义推理并填空．(1)∵∠A＝(已知)，∴AC∥ED( )；(2)∵∠1＝(已知)，∴AC∥ED( )；(3)∵∠A+ ＝180°(已知)，∴AB∥FD( )；(4)∵∠1+ ＝180°(已知)，∴AC∥DE( )．探索创新题3、已知如图6-18所示，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CD于点H，∠5＝∠6．求证BE∥AO．体验中考1、如图6-20所示，已知∠l＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是( )A．110°B．115°C．120°D．125°2、如图6-2l所示，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝130°，则∠2等于( )A．40°B．50°C.130°D．140 °学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查判断两直线平行的方法及对顶角、邻补角的性质．∵∠1＝∠2，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠2＝∠3，∴∠5+∠3＝∠5+∠2＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．故选B.解题策略熟练掌握平行线判定方法.2分析本题主要考查两直线平行的判定方法．答案：(1)∠BED同位角相等，两直线平行(2)∠DFC内错角相等，两直线平行(3)∠AFD同旁内角互补，两直线平行(4)∠DFA同旁内角互补，两直线平行.【解题策略】灵活运用平行线的判定方法．3、证明：∵OE⊥OA，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°．又∵EH⊥CD，∴∠4+∠6＝90°．∴∠1＝∠6．又∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠5．又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠2．∴BE∥AO(内错角相等，两直线平行)．【解题策略】要证BE∥AO，则需找BE，AO被OB所截得到的内错角，即证∠2=∠5即可.4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．丙 2√ 1× 丁 2×4√戊1×4√ 解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的(见表2)．所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4．体验中考1、分析 本题主要考查直线截平行线所成角的位置关系，由图6—20可知∠4＝∠5，∠2＝∠6，由∠1＝∠2可知∠1＝∠6，故l 1∥l 2，所以∠3+∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，故∠4＝∠5＝180°-∠3＝180°-55°＝125°.故选D.2、分析 因为AB ∥CD ，∠l 与∠2为同位角，所以∠2＝∠l ＝130°．故选C ．7.4平行线的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、 了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；2、 能熟练应用平行线的性质公理及定理【重点难点】两直线平行的性质公理及两个性质定理知识概览图如果两条直线平行⎩⎨⎧的几何问题利用已有知识证明简单及两个性质定理两直线平行的性质公理新课导引你能测量如右图所示的斜坡的倾斜程度吗?工人师傅是这样做的：将量角器斜放在坡面上，取中心点引直线BC ，当BC 平行于水平面时，这时得到的角β的度数就是坡角α的度数.教材精华知识点两直线平行的性质公理及两个性质定理两直线平行的性质公理.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(两直线平行，同位角相等)．两直线平行的性质定理．(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(两直线平行，内错角相等)．(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补(两直线平行，同旁内角互补)平行线的性质补充结论．(1)垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线．(2)夹在两平行线问的平行线段相等．(3)两条平行线间的距离处处相等.(4)经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(5)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补.课堂检测基础知识应用题1、如图6-31所示，已知∠3＝∠4，若要使∠l＝∠2，则需( )A．∠l＝∠3 B. ∠2＝∠3C. ∠l＝∠4 D．AB∥CD综合应用题2、已知如图6-34所示，AB∥CD，∠1＝∠3．求证AC∥BD．探索创新题3、已知如图6-38所示，C，P，D在同一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2．求证∠E＝∠F．体验中考1、如图6-40所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于( )A．70°B．80°C．90°D．100°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析当AB∥CD时，∠1+∠3＝∠2+∠4(两直线平行，内错角相等)．又∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．故选D.【解题策略】把已知条件和要求证的结论在一起分析可知，需要∠BAD＝∠CDA，因此需条件AB∥CD2.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠3(已知)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．【解题策略】此题在证明过程中首先使用了平行线的性质定理，然后又使用了平行线的判定公理，使证明的过程有了初步的综合性.3、分析图中线段较多，所注字母也较多，应思路清晰．题中要证∠E＝∠F，显然必须先证AE∥FP，而要证得此结论，只有一对内错角可入手；再由已知两角互补能推出AB∥CD，这时能得出内错角∠BAP＝∠APC，再加上∠1＝∠2，便可推出所要证的结论．证明：∵∠BAP与∠APD互补(已知)，∴AB∥CD(同旁内角互补．两直线平行)．∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠EAP ＝∠BAP -∠2＝∠APC -∠1＝∠APF (等式的性质)． ∴AE ∥FP (内错角相等，两直线平行)． ∴∠E ＝∠F (两直线平行，内错角相等)．【解题策略】 两条直线平行的判定、性质的应用，注意它们的区别． 体验中考1、分析 由题意知∠D ＝∠BEC ＝180°-∠AEC =180°-100°＝80°．故选B ．7.5三角形内角和定理的证明学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用2、体会思维实验和符号化的理性作用【重点难点】“三角形内角和定理”的证明及其简单应用知识概览图三角形内角和定理⎩⎨⎧用三角形内角和定理的应明三角形内角和定理的证新课导引在探究“勾股定理”时，我们应用拼图的方法，如右图所示，图形I 与Ⅱ是30°角的直角三角板，图形Ⅲ是45°角的直角三角板，由面积公式得2212122)b a )((c ab b a +⨯=++，所以a 2+b 2=c 2．教材精华知识点1 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°． 拓展 直角三角形两锐角互余． 知识点2 三角形内角和定理的证明 已知△ABC ，如图6-58所示． 求证∠A +∠B +∠C ＝180°．证法1：如图6-58所示，作BC 的延长线CD ，过点C 作CE ∥BA ，则∠1＝∠A ，∠2＝∠B ．∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB ＝180°．证法2：如图6-59所示，过点A 作PQ ∥BC ，则∠1＝∠B ，∠2＝∠C ．∵∠1+∠2+∠BAC =180°，∴∠BAC +∠B +∠C =180°.本定理还有多种证法，如图6-60所示，过点P (点P 在三角形的一边上或三角形内部或三角形外部)作AB ，BC ，CA 的平行线，你发现如何证明了吗?试一试吧!拓展 三角形内角和定理的证明思路：作平行线转移三角形的一个或两个或三个内角，构造平角．课堂检测基本概念题 1、如图6-61所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，试说明∠A +∠B =90°．基础知识应用题2、如图6-62所示，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A =35°，则∠BDC 的度数为 ．综合应用题3、已知如图6-65所示，AB∥CD．求证∠P＝∠A+∠C．探索创新题4、在△ABC中，∠B比∠A的2倍少5°，∠C比∠A多21°，求∠A，∠B，∠C的度数．体验中考1在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°2、若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．【解题策略】也就是说“直角三角形两锐角互余”.2.分析本题主要考查三角形内角和定理．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A=35°，∠1=20°，∴∠2＝25°，∴∠DBC+∠DCB＝100°．在△BCD中，∠BDC＝180°-∠DBC-∠DCB＝80°．故填80°．【解题策略】灵活运用三角形内角和定理．3、分析连接AC，构造三角形，应用三角形内角和定理及平行线性质进行证明．证明：如图6-65所示，连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°．即∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠PCD＝180°．∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，∴∠P+180°-∠BAP-∠PCD＝180°，∴∠P＝∠BAP+∠PCD．【解题策略】此题作辅助线的方法很多，可以过点P作AB或CD的平行线，也可以延长AP(或延长CP)均可解决此题.4、分析本题考查三角形内角和定理与方程的综合应用.根据题意列出方程，解方程即可求出各角的度数．解：设∠A等于x°，则∠B＝(2x-5)°，∠C＝(x+21)°．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x°+(2x-5)°+(x+21)°＝180°．解这个方程，得x＝41．∴2x-5＝2×41-5＝77，x+21＝41+21＝62．∴∠A＝41°，∠B＝77°，∠C＝62°．【解题策略】运用方程思想解决几何问题.体验中考1、分析本题主要考查三角形内角和定理，∠A＝180°-∠B-∠C=60°．故选D．2、分析本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理．50°角既可以作为顶角也可以作为底角．当50°角作为底角时，顶角为180°-2×50°＝80°，所以这个等腰三角形的顶角的度数为50°或80°．故选D。
第七章平行线的证明(教案)
-难点三：在作图过程中，教师应详细讲解如何使用三角板和直尺，以及如何避免作图误差。通过实际操作演示，让学生掌握作图技巧，提高作图的准确性。
四、教学流程
第七章平行线的证明（教案）
一、教学内容
本节选自七年级数学教材第七章《平行线的证明》。教学内容主要包括以下两部分：
1.掌握平行线的判定方法：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
2.学会使用三角板、直尺等工具进行平行线的作图。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.培养学生逻辑推理与证明能力，使其能够理解和运用平行线的判定方法，形成严谨的数学思维。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得相当积极，但我也注意到有些小组在操作过程中存在一些作图不准确的问题。这提醒我在今后的教学中，要加强对学生实际操作能力的培养，让他们在动手实践中不断提高。
此外，学生在小组讨论中分享的成果让我感到欣慰。他们能够将所学知识应用到实际问题中，并提出自己的观点。但在讨论过程中，我也发现部分学生表达不够清晰，逻辑思维能力有待提高。因此，在接下来的教学中，我会着重培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行线的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线看起来永远不会相交的情况？”（比如公路上的车道线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
【冀教版】七年级数学下册：7.4《平行线的判定》导学案
平行线的判定
一预习导航
1复习画两条平行线的方法
2在这一过程中，三角尺起着什么作用？
知识点1. 平行线的判定方法1：
由上面，同学们你能发现判定两直线平行的方法吗？
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠1＝∠2
∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行）
知识点2. 平行线的判定方法2：
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：内错角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠3＝∠2
∴l1∥l2 （内错角相等，两直线平行）
知识点3.平行线的判定方法3：
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单地说：同旁内角互补，两直线平行。
几何叙述：∵∠4+∠2=180°
∴l1∥l2 （同旁内角互补，两直线平行）
例1.如图，∠1=∠A，则GC∥AB，依据
是；
⑵∠3=∠B，则EF∥AB，依据是；
⑶∠2+∠A=180°，则DC∥AB，依据是；
⑷∠1=∠4，则GC∥EF，依据是；
⑸∠C+∠B=180°，则GC∥AB，依据是⑹∠4=∠A，则EF∥AB，依据是
例2.如图，根据下列条件，可以判定哪些直线互相平行？
（1）∠1=∠D
（2）∠2=∠B
（3）∠3+∠A=180°
例3.如图所示,已知直线
且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则与c平行吗?•为什么?
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冀教版初中数学七年级下册 第七章 平行线习题课复习 导学案
课题 平行线习题课【学习目标】1、会表达：能正确地叙述平行线的判定及性质定理。
2、会识图：能在较复杂的图形中识别出概念所反映的部分。
3、会翻译：能结合图形把概念的定义翻译成符号语言。
4、会画图：能画出概念所反映的几何图形以及变式图形，会在图上标注字母或符号。
5、会应用：能应用平行线的判定及性质定理进行简单的判断、推理和计算。
【学习重点】平行线的性质定理和判定定理的应用． 【学习难点】应用平行线性质定理和判定定理进行推理 【教学过程】 一、知识回顾：（1）平行线的判定方法有哪些？（2）平行线又有什么性质呢？ （3） 它们有什么区别和联系呢？二、引言：由于初学几何，很多同学不会识图，更不会用规范的几何语言去说理，因此通过本节课的学习，希望能够启迪智慧，帮助同学们顺利跨入几何王国的大门。
三、巩固练习 填一填1、如图：(1)∵∠B=∠1（已知）∴____//____（ ） ）(2)∵∠3=∠D （已知）∴____//____（ ） ）(3)∵∠B+∠4=180°（已知）∴____//____（ ） ） ） (4)∵CG // DF （已知）∴∠2=_____ （ ） ） ）(5) ∵AB // DE （已知）∴∠3=_____ （ ） ）(6)∵CG // DF （已知）∴∠F+ =180°（ ）数形转化 （数量关系）（位置关系） （数量关系）内错角相等 同旁内角互补 同位角相等两直线平行同旁内角互补 同位角相等 内错角相等判定 性质六、布置作业：1：已知：如图∠1＝ ∠ 2， ∠ A ＝ ∠ C ， 说明：AE ∥BCD 3 1 C课下交流2、如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由B C DA E2A B E。
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第七章 平行线的证明
复习目标:
1、使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；
2、培养学生的逻辑思维能力，规范学生的证明格式。
主要问题：如何运用所学的公理、定理解决相关问题。
学习过程： 本章知识网络：
基础练习：
——。
2．下列句子中，不属于命题的是( )
A ．三角形的内角和等于180°
B ．对顶角相等
C ．过直线外一点作已知直线的平行线
D ．两点之间，线段最短
3、把命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……那么……”的形式 1．下列四个命题中，属于真命题的是( )
A ．互补的两角必有一条公共边
B ．同旁内角互补
C ．同位角不相等，两直线不平行
D ．一个角的补角大于这个角
4、已知：如图，∠1十∠2=180°，求证：∠3=∠4．
5、已知：如图，直线a 、b 被直线c 所截且a ∥b ，求证：∠1十∠2=180°
拓展提高：
1、已知：如图，直线a 、b 被直线c 所截，若∠1十∠2=180°，求证：a ∥b
2、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠DBE=30°，∠EBC=30°，求∠BDE 的
大小．
3、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ，求证：∠EGH>∠ADE
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⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）
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4、某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB 与道路CD 平行，道路AB 与道路AE 的夹角为45°．城市规划部门想新修一条道路CE ，要求∠C=∠E ，求∠C 的大小．
5、如图，潜望镜中的两个镜片都是与水平面成45°角放置的，这样的设计就可以保证下面人的视线和上面的光线是平行的．你能说明其中的道理吗?
6、已知：如图，P 是△ABC 内一点，连接PB ，PC ． 求证：∠BPC>∠A ．
7、(1)如图(1)所示，在△ABC 中，若BD ，CD 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，
试说明：∠BDC ＝90°+2
1
∠A ．
(2) 如图(2)所示，若BD ，CD 是△ABC 的两外角的平分线，试证明：∠BDC ＝90°-2
1∠A ．
(3) 如图(3)所示，若BE ，CE 分别是△ABC 一内角和一外角的平分线，试证明：∠E ＝2
1∠A ．
8、如图，MN ，EF 分别表示两面互相平行的镜面，
一束光线AB 照射到镜面MN 上，反射光线为BC ，此时∠1=∠2；光线BC 经镜面EF 反射后的反射光线为CD ，此时∠3=∠4．试判断AB 与CD 的位置关系，你是如何思考的?
9、把长方形ABCD 沿对角线Ac 折叠，得到如图所示的图形．已知∠BAO=30°， 求∠AOC 和∠BAC 的大小。