函数零点所在区间及二分法问题

如果函数 y f x 在区间 a,b 上的图像是连续不断的一条曲线，且 f a f b 0 ，则函数 y f x 在区间 a,b 内有零点．
注：零点存在定理只能判定有零点及零点所在区间，无法判定无零点及零点个数．
2．二分法 可以通过反复使用零点存在定理，求方程的近似根或根．
当 x , 1 时， f x 0 ，函数 f x 单调递减；
当 x 1, 时， f x 0 ，函数 f x 单调递增．
故当 x 1时，函数取最小值 f 1 e1 a 1 a ，
e
若函数 f x xex a 有两个零点，则 f 1 1 a 0 ，即 a 1 ，
数）；否则重复上一步．
例如：用二分法求 f x 2x x 2 的零点时，首先由 f 0 0 ，f 1 0 ，可取区间0,1 ．再
计算
1 2
处的函数值，得
f

1 2


0
，于是零点在

1 2
,1
之间，再计算
f

3 4

的值，
，依次类
推下去，直到找到零点或零点的近似值．
注：二分法是采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数的零点所在范围逐步缩小，也就是逐渐逼近
函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到函数零点的近似值．
【经典例题】
例1. 下列是关于函数 f x ， x a,b 的几个命题：
①若 x0 a,b 且满足 f x0 0 ，则 x0 , 0 是 f x 的一个零点； ②若 x0 是 f x 在 a,b 上的零点，则可用二分法求 x0 的近似值； ③函数 f x 的零点是方程 f x 0 的根，但 f x 0 的根不一定是函数 f x 的零点；
若函数 f x xex a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是
A．


1 e
,


【答案】B
B．


1 e
,
0

C． e,0
（）
D． 0,e
【解析】函数 f x xex a 的导函数 f x x 1ex ，
令 f x 0 ，则 x 1，
其中正确的有__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】（3）
【解析】由题意可确定 f x 唯一的一个零点在区间 0, 2 内，故在区间 2,16 内无零
点，（3）正确；（1）不能确定，（2）中零点可能为 1 ，（4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3）． 【总结】根据题意可以判断出存在和一定不存在零点的区间，因而对每个结论进行判 断．
x3


1 2
x2
，
4 0 ， f 1
13


1 2
1

1
0
，
f
2

23


1 2
0

7

0
，
函数 f x 的零点必在区间 1, 2 上．
故选：B．
【总结】构造函数，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间．
例7. 吉林省吉林一中高二（下）3 月月考数学试卷
例2. 若函数 f x 唯一的一个零点同时在区间 0,16 ，0,8 ，0, 4 ，0, 2 内，下列结论： （1）函数 f x 在区间 0,1 内有零点； （2）函数 f x 在区间 0,1 或 1, 2 内有零点； （3）函数 f x 在区间2,16 内无零点； （4）函数 f x 在区间 0,16 上单调递增或递减．
f

x


1 3
x

log2
x
，
0

a

b

c
，在
0,
上是单调减函数，
由 f a f b f c 0 知 f a 0 ，f b 0 ，f c 0 或 f a 0 ，f b 0 ，f c 0 ，
所以 d a b c 或 a b d c ，
故答案为：①②③．
例3. 在下列区间中，函数 f x ex 4x 3 的零点所在的区间为
A．

1 4
,
1 2

【答案】A
B．


1 4
,
0

C．

0,
1 4

【解析】 函数 f x ex 4x 3 单调递增，
又
f
0

0
，
f
1 2
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为
（）
A．0
B．1
C．3
D．4
【答案】A
【解析】①零点不是一个点，而是一个数；②函数 f x 不一定连续；
③零点一定是根，根一定是零点；④二分法可能会求出根的准确值．
故选：A．
【总结】根据函数零点的基本概念，函数零点与方程根的关系，对选项逐一进行验证．

0，
f
1 4

0，
f

1 2


f

1 4


0
，
函数
f
x

ex

4x

3
的零点所在的区间为

1 4
,
1 2

．
故选：A．
【总结】根据零点存在性定理判断函数零点所在区间．
（）
D．

1 2
,
3 4

例4. 若 a b c ，则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分
【变式】
若函数 f x 唯一的零点在区间 1,3 或 1, 4 或 1,5 内，则 ①函数 f x 的零点在 1, 2 或 2,3 内； ②函数 f x 在 3,5 内无零点； ③函数 f x 在 2,5 内有零点； ④函数 f x 在 2, 4 内不一定有零点； ⑤函数 f x 的零点必在 1,5 内．
所以 n 2 ． 故答案为： 2 ．
例6.
设
y

x3
与
y


1 2
x2
的图像的交点为

x0
,
y0

，则
x0
所在的区间是
（）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2,3
D． 3, 4
【答案】B
【解析】令 f
f 0 03
x
1 2 2
函数零点所在区间及二分法
【学习目标】
1．理解零点存在性定理，会依据此定理解决有关零点存在性的问题； 2．会用二分法求函数零点近似值．
【学习重难点】
1．将零点存在性定理与函数单调性，函数的求导等知识结合应用，解决综合性问题； 2．应用零点存在性定理求具体问题中参数的值或取值范围．
【知识精讲】
1．零点存在性定理
所以只有⑥不正确．
故答案为： 5 ．
例5. 函 数 f x x3 3x 5 的 零 点 所 在 的 区 间 为 n, n 1 （ nZ ）， 则 n 的 值 为
__________． 【答案】1
【解析】 函数 f x x3 3x 5 是单调递减函数， 又 f 1 13 31 5 1 0 ， f 2 23 3 2 5 9 0 ， 函数 f x 的零点必在区间 1, 2 上．
故答案为： 1 ． 【总结】根据函数解析式判断函数单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点所 在的区间．
【变式】
若方程 ln x 2x 6 0 在 n, n 1 （ nZ ）内有一解，则 n __________．
【答案】2
【解析】令 f x ln x 2x 6 ， x 0, ， 因为 y ln x 和 y 2x 6 在 0, 上都是增函数， 所以 f x 在 0, 上是增函数， 又因为 f 2 ln 2 2 0 ， f 3 ln 3 0 ， 所以 f x 的唯一零点在区间 2,3 上， 因为方程 ln x 2x 6 0 在 n, n 1 （ nZ ）内有一解，
以上说法错误的是__________（将序号填在横线上）． 【答案】①②③
【解析】由题意知，函数 f x 唯一的零点可能在 1,3 区间内，也可能在3,5 区间内，
对于①零点可以在 2 处达到，
对于②零点可能在3,5 内，所以在 3,5 内是有可能的， 对于③零点可以在 1, 2 内， 对于④函数 f x 在 2, 4 内不一定有零点，正确， 对于⑤函数 f x 的零点必在 1,5 内，正确．
,
1 e
Βιβλιοθήκη Baidu
1
．
故选：B．
例8. 2017 年河北省衡水市武邑中学（理科）
3．利用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度 ，用二分法求函数零点近似值的步骤为：
确定区间a,b ，验证 f a f b 0 ； 令 c a b ，计算 f c ：若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点；
2
若 f a f c 0 ，则令 b c （此时零点 x0 a,c ）； 若 f c f b 0 ，则令 a c （此时零点 x0 c,b ）． 判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点近似值 a 或 b（或是区间 a,b 内任一个
1 3
x

log2
x
，0

a

b

c
，f
a
f
b
f
c

0
，实数
d
是函数
f
x
的一个零点．给出下列六个判断：① d a ；② d a ；③ d b ；④ d b ；⑤ d c ；
⑥ d c ，其中可能成立的个数为__________．
【答案】5
【解析】易知函数
e
e
a 0 时， x , 1 时， f x xex a 0 恒成立，不存在零点，
故a0．
综上所述， 1 a 0 ． e
故选：B．
【总结】由函数解析式，求出函数的导函数，再由导数判断出函数的极值点，通过恒
成立问题，判断出零点存在的条件，进而求出参数的取值范围．
当 x 1时， g x 0 ，函数是减函数；
当 x 1时， g x 0 ，函数是增函数．
所以，函数的最小值为 g 1 1 1 ，则 a 1 1 ．
e
e
函数 y xex x2 2x a 恰有两个不同的零点，
则实数
a
的取值范围为

【变式】2017 年陕西省延安市黄陵中学重点班
已知函数 y xex x2 2x a 恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 （ ）
A．

,
1 e

1
【答案】B
B．

,
1 e

1
C．

1 e

1,


D．

1 e
,


【解析】函数 y xex x2 2x a 恰有两个不同的零点，
就是 xex x2 2x a 0 恰有两个不同的实数解，
设 g x xex x2 2x ，
则 g x ex xex 2x 2 x 1 ex 2 ，
别位于区间
（）
A． a,b 和 b,c 内
B． , a 和 a,b 内
C． b,c 和 c, 内
D． , a 和 c, 内
【答案】A
【解析】 a b c ，
f a a ba c 0 ， f b b cb a 0 ， f c c ac b 0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间 a,b ， b,c 内分别存在一个零点，
又函数 f x 是二次函数，最多有两个零点，
因此函数 f x 的两个零点分别位于区间 a,b ， b,c 内．
故选：A．
【总结】根据零点存在性定理判断函数零点所在区间．
【变式】
已知函数
f
x