数值积分与数值微分

第5章数值积分与数值微分方法关于定积分计算，已经有较多方法，如公式法、分步积分法等，但实际问题中，经常出现不能用通常这些积分方法计算的定积分问题。怎样把这些通常方法失效的定积分在一定精度下快速计算出来，特别是通过计算机编程计算出来就是本章研究的内容。

此外，怎样根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。

本章涉及的方法有Newton-Cotes求积公式、Gauss求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式和数值微分。

5.1 引例

人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国的第一颗人造地球卫星近地点距离地球表面439km ，远地点距地球表面2384km ，地球半径为6371km ，求该卫星的轨道长度。 本问题可用椭圆参数方程 cos ,,0sin x a t a b y b t

π=⎧≤≤>⎨=⎩ (0t 2) 来描述人造地球卫星的轨道，式中a, b 分别为椭圆的长短轴，该轨道的长度L 就是如下参数方程弧长积分

但这个积分是椭圆积分，不能用解析方法计算。

5.2问题的描述与基本概念

要想用计算机来计算()b a

f x dx ⎰，应对其做离散化处理。注意到定积分是如下和式的极限 01

()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰ 要离散化，做

1） 去掉极限号lim

2） 将i ξ取为具体的i x 值

3） 为减少离散化带来的误差，将

i x ∆用待定系数i

A 代替

于是就得到

定义 5.1 若存在实数1212,,

,;,,,,n n x x x A A A 且任取()[,],f x C a b ∈都有 1

()()n

b

i i a i f x dx A f x =≈∑⎰ （5.1）

则称式(5.1)为一个数值求积公式。式中i A 称为求积系

数，i x 称为求积节点，而称 1()()()n

b i i a i R f f x dx A f x ==-∑⎰ （5.2） 为求积余项或求积公式（5.1）的截断误差。

从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n 、求积节点{}i x 和求积系数{}i A ，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式。

定义5.2 若求积公式

1()()n

b

i i a i f x dx A f x =≈∑⎰ 对所有不超过m 次的多项式()m p x 有求积余项

()0m R p =，而对某一个

m+1次多项式1()m p x +有

1()0m R p +≠，则称该求积公式的代数精度为m 。

1()()()n b i i a i R f f x dx A f x ==-∑⎰ 一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。

确定代数精度的方法

依次取

()(0,1,)k f x x k ==代入公式1()()()n

b i i a i R f f x dx A f x ==-∑⎰

并验证

()0k R x =是否成立。 若第一个使()0k R x =不成立的k 值为m ，

则对应的代数精度为m-1。

例 5.1确定求积公式

11()((33

f x dx f f -≈-+⎰

的代数精度。

解 取()k f x x =代入求积公式有

11()[((]331[(](1(1))13k k

k k k k R x x dx k -=--+=-+-+⎰

易验证

0123()()()()0R x R x R x R x ====，但48()045R x =≠，故本题求积公式代数精度为3。

例 5.2确定下面求积公式

22()()(0)(2)h

h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰

的参数A ，B ，C ，使它具有尽可能高的代数

精度，并指出相应的代数精度。

解本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。

公式有3个待定参数，h不是求积公式的参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题。

依次取2()1,,f x x x 代入求积公式并取等号，有

解之得

故所求的求积公式为

为确定其代数精度，再取3()f x x =代入求出的公式继续计算，有3

416()03R x h =-≠，故所求的求积公式具有二阶代数精度。

5.3 插值型求积公式

借助多项式插值函数来构造的求积公

式称为插值型求积公式。

一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。

基本思想

利用被积函数()f x 的插值函数代替()f x 做定积分的近似计算来构造求积公式。

1.构造原理

考虑()f x 在n 个节点12,,,n x x x 上的n-1次Lagrange 插值多项式1()n L x -与()f x 的余项，有

()()11()()()[,]!n n

i in n i f f x f x l x x x a b n ξω-==∑+∈（） 这里()()()111,n n

k in n k k k i k k i x x l x x x x x x ω-==≠⎛⎫-=∏=- ⎪-⎝⎭∏。

两边取积分,有

()()11()()()!n n b b b i in n a

a a i f f x dx f x l x dx x dx n ξω-==∑+⎰⎰⎰（）

记

1()b i in a A l x dx -=⎰

（

5.3） 则有