初二数学提高题附答案

33

33

图2

图1

A

B

C

D

E

F

F E

D

C

B

A

l

O

H

x

y B

A

3

333综合题

1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。 （1）求证：∆OBC 为等边三角形；

（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA

向点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。

解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=23，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角形。

∵AB 3如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5）

，点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°。AH ⊥OB ，垂足为点H 。 （1）求直线l 所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH 和OB 的长度；

（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x

的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

解：1)设y=kx 为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH 即A 的纵坐标，∴AH=5

∵AH ⊥BH ，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH 即A 的横坐标，∴OH=3 ∵OB=OH+BH ，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x ，∴BP=8-x ∴S △ABP=1/2BP ×AH=1/2(8-x)×5=20-(5/2)x x 的取值范围是0≤x ＜8

3．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）

已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，AE ⊥AB ，且AE ＝BD ，DE 与AC 相交于点F 。 （1）若点D 是AB 的中点（如图1），那么△CDE 是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结论； （2）若点D 不是AB 的中点（如

图2），那么（1）中的结论是否仍然

成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，

请说明理由；

（3）若AD ＝AC ，那么△AEF

是 等腰 三角形。

图(1)

60︒B C A o

图(2)

60︒

M

P

Q H B A o （备用图）

H

60︒

B C

A o

（不需证明）

解：1)△CDE是等腰直角三角形

2）成立，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°

∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∴∠EAC=90°-45°=45°=∠B

在△ACE与△BCD中，

∵AE=BD，∠EAC=∠B，AC=BC，∴△ACE≌△BCD

∴CE=CD，∠ACE=∠BCD

∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90°

∴△CDE是等腰直角三角形

4．如图，直线l经过原点和点(3,6)

A，点B坐标为(4,0)

（1）求直线l所对应的函数解析式；

（2）若P为射线OA上的一点，

①设P点横坐标为x，△OPB的面积为S，写出S关于x的函数解析式，指出自变量x的取值范围．

②当△POB是直角三角形时，求P点坐标．

解：1)设y=kx为直线l的解析式

当x=3,y=6时，6=3k，k=2，∴y=2x是直线l的解析式

2)①P在射线OA上，设P横坐标为x，纵坐标为2x

S=1/2×OB×2x=4x，∴S=4x是解析式，x的取值范围x＞0

②在Rt△P?OB中，P的坐标(4，8)

在Rt△P?OB中，P的坐标(4/5，8/5)

5、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n那么：

（1）以x、m、n为边长的三角形是什么三角形？（请证明）

（2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB。

解：1)以x、m、n为边长的三角形是直角三角形

作△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°

在△MNC与△DNC中

∵CM=CD，∠MCN=∠DCN，CN=CN，∴△MNC≌△DNC

∴MN=DN=n，AM=BD=m

∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90°

∴△DBN(以x、m、n为边长的三角形)是个直角三角形

M

A

D

E

C

B

第26题图

Q

R

P

C

B

A

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R。

（1）求证：PQ＝BQ；

（2）设BP＝x，CR＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）当x为何值时，PR

3

2

解：1）∵∠C=90°，

∠B=30°，∴∠A=60°,

∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°=∠B，∴AD=DB

2）∵BF=y=AB-AF=12-AF，∵EF⊥AB,∠A=60°，∴∠AEF=30°

∴AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X)，∴y=12-1/2(6-X)=9+1/2x

∴y=9+1/2x为解析式

3)∵∠DEF=90°,∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°，∴∠EDC=30°∴AE=ED=2EC，

∵AE+EC=AC=6，∴EC=2

当EC=x=2时，y=9+1/2×2=10，即BF=10

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点.

（1）求证：CM=EM；

（2）如果BC=3，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.

解：1）∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∵M是BD的中点，∴CM=1/2BD=EM

2）∵CM=y，∴BM=DM=EM=y

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，

∵BC=3，∴AB=23，∴AC=3，∴CD=3-x

∴(3-x)2+3=4y2，y=1/2 ,其中x的定义域是0

第26题图

F

E

D

C B

A