4.3-有向图 Euler路

Konigsberg Seven Bridges Problem
C
C
A
D
A
D
B
B
§4.3.2 Euler路 Euler图
定义4.3.9 设G是有向图，G中一条Euler路， 就是一条有向路(e1, … , en)，其中 fin(en)=init(e1)，而且G中每条弧在此有向路中 恰出现一次。
§4.3有向图 Euler路
§4.3.1 有向图与有向树
定义4.3.1 G=(P, A)称为有向图，如果P是点集 合，A是从一点引到一点( 不要求一定是另一点 )的弧 集合。当P为有限集时，G称为有限有向图。 若e是一条从点v到点v’的弧，则称v为e的起点， 记为v=init(e)；v’为e的终点，记为v’=fin(e)。 把起点和终点都是点v的弧称为反身弧，有向 图中两点(可以是相同的)间的弧可以有无穷条。 显然，有限有向图中的集合A未必是有限集。即， 有限有向图中的弧可以有无穷多条。
定理4.3.1（转化定理）
(2) 往证：G是以r为根的有向树。 ①每一点v (vr)恰是一弧的起点； 任取G中一点v，且vr。由于在G0中存在从v到r 的简单路，故由上面的规定，在G中，v必是某 条弧的起点。若v是两条弧的起点，设这两条弧 的终点分别为v1，v1’，且v1 v1’。于是，按着上 面规定，在G0中，从v到r有两条简单路： (v,v1,…,r)， (v,v1’,…,r)。矛盾。故点v恰是一条 弧的起点。
定义4.3.4
有向图的有向路(e1,…,en)称为简单的，如 果 1）init(e1), … , init(en)互不相同， 2）fin(e1), … , fin(en)互不相同。
定义4.3.5
设G=(P, A)是有向图，vP(G)，从点v到自 身的简单有向路(长度可以为1或2)称为有向 回路。
定理4.3.1（转化定理）
② r不是任意一条弧的起点； 由规定知，此结论显然成立。 ③r是根。 对G中任意一点v (vr) ，在G0中恰有一条从v到r 的简单路。按规定此简单路上诸边的方向都指向 r，故在G中，这是一条从v到r的有向路。 综上所述，G是一个有向树。
§4.3.2 Euler路 Euler图
漠视图
有向图G的漠视图G0： (1)删去G中自身到自身的弧； (2)G中任意两点，若有弧，只保留一条； (3)删去弧的方向，即得G0。 称有向图G是连通的，如果G的漠视图G0是连 通的。 显然，若有向图G是强连通的，则G必有根； 若有向图G有根，则漠视图G0必连通。反之，不 一定成立。亦即，若G0连通，则G不一定有根； 若有根，则G未必强连通。
2)最后证明：G的每条弧恰在L中出现一次。 因为已知L中的弧无重复，所以只需证：G的每 条弧都在L中出现即可。 对于L，若顶点v在L中，则用1)中的方法可以证 明，从v出发的所有弧都在L中。 任取eG，设u=init(e)，任取L中一点v，因为G 强连通，v，u间有有向路(e1’, e2’, …, ei’)且 init(e1’)=v，fin(ei’)=u，因v在L中，e1’是由v发出 的弧，所以e1’在L中，因此fin(e1’)= init(e2’)=v1’ 在L中，所以e2’在L中，同理，ei’的终点u在L中 ，所以e在L中。由e的任意性知，G中弧均出现 在L中。 综上，L是一条Euler路。
定义
定义4.3.6 设G=(P，A)是有向图，对G中任意两 点v，v’ (vv’)，如果都有从v到v’的有向路，则 称G是强连通的。 定义4.3.7 设G=(P，A)是有向图，rP(G)。称r 为G的根，如果对G中任一点v (vr)，都有从v到 r的有向路。 显然，强连通图的每一点都是根，反之，每一点 都是根的有向图也必是强连通的。
例：
V2
V1
V1Βιβλιοθήκη Baidu
V3 V3 V2
有向图中点v的输出次数(出度)是集合 {e|init(e)=v}的元数；点v的输入次数(入度) 是集合{e | fin(e)=v}的元数；点v的度等于 点v的输入次数加输出次数。 今后，为简便计，有时也将有向图G中的 点v、弧e，写成vG，eG。
定义4.3.2
例：
e7 e8
A e1
e9 F B (e2),(e3, e4, e2),(e3, e5, e10 e6, e10, e2),(e3, e5, e6, e7, e2 e6 e1)是从C到B的4个有向 C E e4 路。这4条有向路只有 e5 第一条，第四条是简单 e3 D 的； (e3, e4),(e3, e5, e6, e10),(e8),(e9)是4条有向回路； 有向图G中，从B到其它任意点都没有有向路。
定理4.3.2
1) 证明 init(e1)=fin (em) 设v=fin (em)，设v的输出次数为k (0<k<m)，则 v的输入次数也为k 。 (1) 证明由v发出的k条弧必然全部出现在L中。 反证法，若e不在L中，且init(e)=v，则(e1，…，， em，e)就是一条比L更长的由无重复弧构成的有 向路，矛盾。
定理4.3.1（转化定理）
2)再证第二个命题。 设G0是无向树。 (1)若G0只有一个节点r，命题显然成立。 (2)假设G0有n个节点时命题成立，则当G0有 n+1个节点时。设 r是G0中的一个节点且G0中与r 相邻的所有节点是v1,，v2，…vk。去掉r及其所 关联的边，得到k个子树（由定理4.2.1及其证明 能够知道所有必须通过边vir与节点r相连的节点 之间是相连的，否则矛盾），其中v1,，v2，…vk 分别在 这k个子树中。
例：
A e7 e8 e9 F e10 e6
r
e1 B e2 C e3
E
e5
e4
强连通的 不是强连通的，有根B 有根r
D
定义4.3.8
有向图G称为有向树（或有根树），如果G中 有一点r，并且满足： (1) G中每一点v(vr)都恰是一条弧e的起点。 (2) r不是任一条弧的起点。 (3) r是根。 从定义中我们可推出有向树有如下性质： 1) 每一点v(vr)到r恰有一条有向路； 2) 没有有向回路； 3) 两点间最多有一条弧。
推论
设G是无孤立点的有限有向图，于是，G有Euler 路当且仅当G平衡，并且将G漠视为图G0时是连 通的
定理4.3.3
设G是无孤立点的有限有向图，并且G有一条 Euler路(e1 , … , em)。令r=fin(em)=init(e1)，对每 个点vr，令e[v]=ei，其中i=max{j | init(ej)=v}。 于是，G的全部点和全部弧{e[v] | vr}作成的有 向图G’，是一个以r为根的有向树。 (e00, e01, e12, e22, e21, e10, e01’, e12’, e20 e20)是其中的一条Euler路。 所以，用点v0, v1, v2, 以及弧e12’, e20作成以 r=v0为根的有向树
定理4.3.2
设G是无孤立点的有限有向图。于是，G有Euler 路当且仅当G是平衡的，并且强连通。 证明：必要性显然。 充分性 由于G没有孤立点，且平衡，所以G的 任一点至少发出一条弧。于是G中存在至少一条 有向路，并且在该有向路中没有弧被重复使用。 令 L=（e1, e2, … , em） 是如此有向路中最长者。往证：L就是一条 Euler路。
例：
A e7 e8 e9 F e10 e6
r
e1 B e2 C e3
E
e5
e4
不是有向树 有根r，是有向树 有根B ，但不是有向树
D
定理4.3.1（转化定理）
对有向树G，若无视各弧之方向，则得一树G0； 反之，若G0 是树，可选取任一点做根，并适当 指定各边之方向，则得一有向树G。 证明：1) 首先证第一个命题。 因有向树有根，所以G0是连通的，以下证G0无 回路。 用反证法。假设G0中有回路，设(v0, …, vn) 是 G0中一回路，其中v0= vn，n3。
定理4.3.1（转化定理）
依归纳假设，我们可以把这k个分支化成以v1,， v2，…vk为根的k棵有向树，于是规定r所关联的 边是到r的，则得到以r为根的有向树。
定理4.3.1（转化定理证法二）
若v=v1’且v1=v’，则(v,v’,v2, …,r)， (v,v2’,…,r) 是两条从v到r的简单路，由于v2’ v’，所以这是 两条不同的从v到r的简单路。矛盾。 故由上面证明知，必有v=v1’，或者v1=v’，二 者恰居其一。若v=v1’，则按规定，边vv’改成从 v’到v的弧；若v1=v’，则按规定，边vv’改成从v 到v’的弧。故按上述规定，树G0中任一边都能改 成一个有确定方向的弧，即，将G0改成一个有 向图G。
设G，H是有向图。如果P(H) P(G)， A(H)A(G)，则称H为G的有向子图(简 称子图)。G是H的母图。如果H是G的子 图，并且P(H)=P(G)，则称H是G的支撑 子图。
定义4.3.3
设G=(P, A)是有向图，弧序列(e1, …,en)称 为G的从v到v’其长度为n的有向路，如果 1）eiA(G), i=1, … ,n 2）v=init(e1), v’=fin(en) 3）fin(ek)=init(ek+1), 1kn-1 在不引起混乱的情况下，有时也将有向 路(e1, … , en)写成(v1, … , vn, vn+1)，其中 vi=init(ei) (i=1, … , n)，vn+1=fin(en)。
e1 A
e4
e3 B
e2
C
D
E
Euler路是一有向图中周游诸弧的路线。一个 有向图，如果存在着Euler路，就称为Euler图。
§4.3.2 Euler路 Euler图
定义4.3.10 设G是有向图。G中点v说是孤立的，如果v 的输入和输出次数全为0；G说是平衡的，如果G中每 点v，都有有限的输入次数和输出次数，而且输入次数 和输出次数相等。 于是，一有限平衡有向图，其弧数有限。显然，一有向 图若存在Euler路，则必平衡。因为Euler路每经过一点 一次，该点就得到输入次数和输出次数各一次。这样， 若一点共被经过k次（k=0时是孤立的），则该点在这 有向图中的输入次数和输出次数就都是k。由此可见， Euler图中每个点所触及的弧必为偶数条（输入输出各 半）。
例
下图是一有限平衡有向图，而（e00, e01, e12, e22, e21, e10, e01’, e12’, e20）是其中的一条Euler路。
e20 e10 e00 v0 e01 e’01 v1 e21 e12 e’12 v2 e22
一个Euler图G，如果没有孤立点，则必强连通。 事实上，这时G的全部点皆出现在一条有向路 (e1,e2,…,em)上，即出现在Euler路上。其中， init(e1)=fin(em)。沿着这条路线走两圈，总能够 先到达任一给定的顶点v，然后再到达另一个任 给的顶点v’。即对任意的v、v’，都存在从v到v’ 的有向路。 Euler路实际上是一条封闭的一笔画路线。
定理4.3.2
(2) 证明由v发出的k条弧中，必有e1，即证： init(e1)=v。 反证法，若从v发出的k条弧中无e1，则设这k条 弧是ei1,ei2,…,eik，其中2ijm，因为ei1,ei2,…,eik 从v发出且都在有向路L中, 则必有ei1-1,ei2-1,…,eik-1 发到v，且1ij-1m-1，即至少有k条弧发到v， 这k条弧中不包括em，因em也发到v，于是至少 有k+1条弧发到v，即v的输入次数至少是k+1， 而输出次数是k，矛盾。 (3) 类似地可证得：G中发到v的k条弧也都出现 在L中，并且这k条弧中必有em。
定理4.3.1（转化定理）
(1) 若r在此路中，不妨假 设v0=r，则在G中对应G0的 vn-1 边v0v1的弧一定是从v1到v0 … 的，又因G中除根外每一点 恰发一弧，所以G0中边v1v2 vk 必是G中从v2到v1的弧，…， G0中边vk-1 vk必是G中vk到 vk-1的弧，…，G0中边vn-1vn 必是G中vn到vn-1的弧，而 vn= v0=r，矛盾。 vn = v0=r v1 v2 … vk-1
定理4.3.1（转化定理）
(2)若r不在此回路中，由 v1 有向树定义知，v0或v1恰发 vn-1 一弧，不妨设G0中的边v0v1 … 是G中从v1到v0的弧，则v1 v2 已发弧，则G0中的边v1v2必 vk … 是G中从v2到v1的弧，…， vk-1 则G0中边vn-1vn是G中从vn 到vn-1的弧，又vn=v0, 于是， 得G中一有向回路，矛盾。 故假设不成立，此连通图G0无回路，故G0是树 vn = v0