平面的基本性质与三大公理
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例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
l
P
P l,且P l
关键词:一点,一线
例3、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上的点，且EH 和 FG 交 于点 P，求证：点B、D、P 共线.
例4、已知a // b，a c A，b c B,求证： a、b、c 三线共面
例3.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
下列那些图形一定是平面图形?
三角形
梯形
四边形
你学习累了,抬头看看天花板,于是发 现……….
天花板α
墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交
公那理么３它们:如还果有两其个他线平的, 面可公有用共三来一线点证个共，三公点点且共共所点线有，，的 这些点的集合是一条过这个点的直线
三、平面的表示
点的表示：大写的英文字母 A、B、C 直线的表示：小写的英文字母 l、m、n
平面的表示：希腊字母、、
用平行四边形的两个对顶点的字母
D
C
A
B
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
点与直线的关系：A l , B l
点与平面的关系：A , B
的交点，求证：O，A1，M共线。 D
C
分析：
A
O
M
(1)O、A1、M 平面A1DB
D1
(2)O、A1、M 平面A1ACC1
A1
B
C1 B1
选择=结果
汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
（没有质量）
Hale Waihona Puke Baidu
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
（×）
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×）
（3）若点A直线a，点A 平面，则a . （×）
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个公共点。
（×）
练习
1、下列四个命题中，正确的是( D )
A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
推论3:过两条平行直线,有且只有 一个平面.
2、下列命题中，正确的是( ) C
A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形
讨论题：过空间一点、二点、
三点、四点可以有多少平面？
D
一点、两点：可确定无数个平面； 三点：可确定一个或无数个平面； A
C B
四点：可确定一个或无数个或不可以确定平面.
作用：证明点在平面内；证明直线在平面内 例1、求证：直线与平面相交，交点只有一个.
证明：假设直线l 与平面 相交，有两个交点, 则 l , 这与已知条件矛盾
所以，假设不成立 所以，直线与平面相交，交点只有一个.
例2、已知直线AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
已知空间四点，如果其中 任何三点都不共线，则经 过其中三点有多少平面？
可确定一个或四个.
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
三角形、梯形是平面图形
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平 面图形吗？为什么？
四条线段顺次首尾连接，所得的图形不一定是 平面图形
问题2：(1)两个平面可将空间分成 几部分？ (2)三个平面可将空间分成 几部分？
直线与平面的关系：l ,l
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
判断直线在平面内
问题1：(1)不共面的四个点可确定 几个平面？ (2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？ (4)三条共点的直线可确定 几个平面？ (5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
问题5 : 如图，O是正方体ABCD A1B1C1D1上底面
ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
l
P
P l,且P l
关键词:一点,一线
例3、已知 E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上的点，且EH 和 FG 交 于点 P，求证：点B、D、P 共线.
例4、已知a // b，a c A，b c B,求证： a、b、c 三线共面
例3.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
下列那些图形一定是平面图形?
三角形
梯形
四边形
你学习累了,抬头看看天花板,于是发 现……….
天花板α
墙面γ
墙面β
在空间确定两个平面的交
公那理么３它们:如还果有两其个他线平的, 面可公有用共三来一线点证个共，三公点点且共共所点线有，，的 这些点的集合是一条过这个点的直线
三、平面的表示
点的表示：大写的英文字母 A、B、C 直线的表示：小写的英文字母 l、m、n
平面的表示：希腊字母、、
用平行四边形的两个对顶点的字母
D
C
A
B
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
点与直线的关系：A l , B l
点与平面的关系：A , B
的交点，求证：O，A1，M共线。 D
C
分析：
A
O
M
(1)O、A1、M 平面A1DB
D1
(2)O、A1、M 平面A1ACC1
A1
B
C1 B1
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二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
（×）
（2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×）
（3）若点A直线a，点A 平面，则a . （×）
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个公共点。
（×）
练习
1、下列四个命题中，正确的是( D )
A、任何一个平面图形都是一个平面 B、平面就是平行四边形 C、平面图形可以看成是点的有限集 D、三角形可以确定一个平面
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
推论3:过两条平行直线,有且只有 一个平面.
2、下列命题中，正确的是( ) C
A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形
讨论题：过空间一点、二点、
三点、四点可以有多少平面？
D
一点、两点：可确定无数个平面； 三点：可确定一个或无数个平面； A
C B
四点：可确定一个或无数个或不可以确定平面.
作用：证明点在平面内；证明直线在平面内 例1、求证：直线与平面相交，交点只有一个.
证明：假设直线l 与平面 相交，有两个交点, 则 l , 这与已知条件矛盾
所以，假设不成立 所以，直线与平面相交，交点只有一个.
例2、已知直线AB、AC 都在平面 内，求证： BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
已知空间四点，如果其中 任何三点都不共线，则经 过其中三点有多少平面？
可确定一个或四个.
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
三角形、梯形是平面图形
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平 面图形吗？为什么？
四条线段顺次首尾连接，所得的图形不一定是 平面图形
问题2：(1)两个平面可将空间分成 几部分？ (2)三个平面可将空间分成 几部分？
直线与平面的关系：l ,l
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
判断直线在平面内
问题1：(1)不共面的四个点可确定 几个平面？ (2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？ (4)三条共点的直线可确定 几个平面？ (5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
问题5 : 如图，O是正方体ABCD A1B1C1D1上底面
ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD