空间向量与空间角练习题
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课时作业(二十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．以上均不对
【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且
异面直线所成角的范围为⎝
⎛⎦⎥⎤
0，π2.应选A.
【答案】 A
2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )
B ．－522
66
D ．－52222
【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →
＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →
|AB →||CD →|＝53×22＝522
66，
∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522
66
.
【答案】 A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )
A ．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →
＝(0,1,0)．
取PD 中点为E ，
则E ⎝
⎛⎭⎪⎫0，12，12，
∴AE →＝⎝
⎛⎭⎪⎫
0，12，12，
易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD →
，AE →
＝22
，
∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B
4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3229，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点
E 、
F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1A 1B E 的余弦值为( )
图3229
A ．－
33 B ．－3
2
【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →
＝(－1,1,0)，
A 1
B →
＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1E →·m ＝0，
A 1
B →·m ＝0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝0，
2y －2z ＝0，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，
y ＝z ，取x ＝1，则
y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面
A 1
B 1B ，所以DA →
＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →
〉＝m ·DA
→
|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1A 1B E 为锐二面角，所以二面角
B 1A 1B E 的余弦值为3
3
，故选C.
【答案】 C 二、填空题
5．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1
的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝
⎛⎭⎪⎫1，1，12，
∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，
∴cos 〈AM →，CN →
〉＝
12
52·52＝25， 故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为2
5.
【答案】 2
5
6．(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)、B (2,1，6)，则向量AB →
与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．
【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →
＝(1,3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →
|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，
π]，所以sin 〈n ，AB →
〉＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫3t 4|t |2＝7
4.
【答案】 7
4
7．已知点E ，F 分别在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面
AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．
所以A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，1，23，
所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，0，13，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·AE →＝0，n 2
·EF →
＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＋1
3
z ＝0，－x ＋13z ＝0.
取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)．
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝311
11
.
所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α