平衡二叉树的生成过程

二叉排序树变成平衡二叉树

对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1

一棵好的平衡二叉树的特征：

（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)

（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点

（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式

（1）LL型

LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型

RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

（3）LR型

LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，调整后的树变成LL型树，第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则，调整为平衡二叉树)。

由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

（4）RL型

RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转调整为RR型，再左旋转，从RR型调整到平衡二叉树；处理情况与LR类似。

总结：RR型和LL型插入导致的树失去平衡，只需要做一次旋转调整即可。而RL型和LR 型插入导致的结点失去平衡，要调整两次。对于RL/LR的调整策略是：

第一次调整，最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树，且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型，第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。

#include

#include

#include

using namespace std;

#define LH 1//左高

#define EH 0//等高

#define RH -1//右高

struct TreeNode

{

int m_nValue;

int BF;//平衡因子

TreeNode *lchild;

TreeNode *rchild;

};

class AVLTree

{

public:

AVLTree(){};

~AVLTree(){};

void CreateTree(TreeNode *&root,int data);//创建AVL

void PreTraver(TreeNode *root);//先序遍历

void RR_Rotate(TreeNode *&r);//右旋转处理

int GetHeight(TreeNode *root);//获得树的高度

int GetBF(TreeNode *root);//获得树的平衡因子

void LL_Rotate(TreeNode *&r);//左旋转处理

void RL_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先右旋转，再左旋转void LR_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先左旋转，再右旋转void LeftBalance(TreeNode *&T);//左平衡处理

void RightBalance(TreeNode *&T);//右平衡处理

};

int Max(int a,int b)

{

if(a>b)return a;

else return b;

}

int AVLTree::GetHeight(TreeNode *root)

{

int len;

if(root==NULL)len=0;

else

{

len=Max(GetHeight(root->lchild),GetHeight(root->rchild))+1;

}

return len;

}