多项式长除法的应用
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文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ・ ３ ９ ２ １ ） ４０ ９ — ２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ １０
关 键 词 长 除法 Ｉ 项 式 ； 数 ； 分 ； 分 方 程 多 导 积 微
中 图 分 类 号 Ｏ１ ２ ２ ７ ．
所谓 多项 式长 除法 就是 多 项式 与 多项式 做类 似 于 数与数 的除法 ， 需 要 任何 技 巧 ， 不 只要 你会 加减 、 乘 除就够 了． 过程 如下 ： 把 分 子 、 先 分母 按 降 幂 排好 序； 以最 高次幂 为 准 ， 行试 商 ； 进 依次 试 商 ， 到余式 直 的最高次 幂小 于分 子 的最 高 次 幂． 要 注 意 的 是被 需 除 式和 除式都 要按 一 定 降 幂或 升 幂 次序 排 列 ， 否则
ｄ ｚ ．
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１＋ Ｘ０
—— ： Ｃ
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２ 一
Ｚ４
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广 一 十丽
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然后 直接 积分 可得
收 稿 日期 ；０ ８— １ ２０ ２— １ Ｉ 改 日期 ： ０ １— ０ ５修 ２１ ５— １ ． ３
Ｘ４ 上
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一Байду номын сангаас
Ｘ ６ Ｘ ６一 Ｚ８
作 者 简 介 ｔ 社 （９ ３－） 男 ， 齐新 １ ７ － ． 陕西 扶 风人 ， 士 ， 师 ， 事 军 事 运 硕 讲 从 筹学 教 学 及 研 究 ． ｍａ ： ｑ ｓ １ ３ ｃｒ． Ｅ ｉ ｔ ｘ＠ ６ ．ｏ ｌｙ ｎ
ｌ
ｄ一 ＋ｒｎ － 等 ａａ ｑ ． ｃｘ Ｃ ｔ
注 １ 如果分 子 的次数 低 于分母 的次数 ， 这 时 可 以根 据 分 母 根 的 情 况 对 被 积 函 数 进 行 分 解 化 简 ． 对 分 子 的次 数 低 于 分 母 的 次 数 的这 种 情 针
况， 多项 式 长 除 法 在 解 决 其 他 问题 方 面 也 有 巧 妙 的应用 ， 下例． 见
ｓ ｂ ｔ ｕｉｎ ｍｅｈ ｄ ｒｊｃｉｎｍｅｈ ｄ ｕ ｉｇｓ ｍｍｅｒ ｒｐ ｒｙａ ｄｏ ｅ ｉ ， ｐ ｌｉｇＧａ ｓ ｕ ｓｉ ｔ ｔｏ ，ｐ ｏｅｔ ｔ ｏ ， ｓ ｙ ｔ ｏ ｏ ｎ ｔｉ ｐ ｏ ｅｔ ｎ ｄ ｖｔ ａ ｐｙｎ ｕ ｓ ｃ ｙ
ｆ ｒ ｕ ａ ｎ ｅ ａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｙ ｅ ｏ ｕ ｆ ｃ ｎ ｅ ｒ ｌ ｔ ｉｓ ｙ ｅ ｏ ｍ ｌ ，ａ ｄ ｒ ｌ ｔｎ ｈ ｅ ｏ ｄ ｔ ｐ ｆｓ ｒ ａ ｅ ｉ ｔ ｇ ａｓ ｗｉｈ ｆｒ ｔ ｔ ｐ ．
２ 在 求 高 阶导 数 中 的 应 用
在上 面 的例题 中大 家 可能 会认为 这种方 法可会 可不 会 ， 么 看完 下 面 这 道题 也 许 你 就 不会 这 么认 那
为 了．
１ 在 有 理 函数 积 分 中 的 应 用
有理 函数 的积 分一 直是 微 积分 里 面重要 而又 困 难 的一部 分 内容 ， 关键 也 就是 能 否对 分 子 分 母 进行 化 简 ， 化为 多项 式 的积分 ． 转 因而多 项式 长 除法就 显 得 越发重 要 ．
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｓｃＣｏ ｒｅ ，Ｔｈ ｅ ｏ ｄＡｒｉｅｙ Ｅ ｇｎ ｅｉｇＣｏｌｇ ，Ｘｉａ １ ０ ５ ＲＣ） Ｄｅ ａｔ ｎ ｆＢａ ｉ ｕ ｓ ｓ ｅＳ ｃ ｎ ｔｌ ｒ ｎ ｉｅ ｒ ｌ ｅ ｌ ｎ ｅ ’ ｎ ７ ０ ２ ，Ｐ
Ａ ｓｒｃ ： Ｖａ ｉ ｕ ｐ ｒ ａ ｈ ｓ ｆ ｒ ｃ ｌ ｕ ａ ｉ ｇ ｓ ｒａ ｅ ｉ ｔ ｇ ａｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔｈ ｓ ｎ ｌ ｄ ｂｔ ｔ ａ ｒｏ ｓ ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｏ ａ ｃ ｌｔｎ ｕ ｆ ｃ ｎ ｅ ｒ ｌ ｒ ｉ ｃ ｓ ｅ ． ｅ ｅ ｉ ｃｕ ｅ
例 ２２ 求 １拈 Ｓ
（）其 中 Ｏ，
， ）一 ａｃａ ｘ （ ｒｔｎ ．
解 根据 长 除法 ， 有
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，
例１１ 不 积 ｆ １ｌ 定 分 １ ］ ２ 求
解 作 长 除可得
０＋ ｚ ＋ １ ． １
（． 安 通 信 学 院 基 础 部 。陕西 西 安 ７ ００ ； ２ 临沂 师 范 学 院 数 学 系 ，山东 临 沂 ２ ６ ０ ） １西 １ １６ ． ７０ ５
摘
要 通 过 实 例介 绍 多 项 式 长 除 法 在 有 理 函数 积 分 、 高 阶 导数 、 解 微 分 方 程 中 的 具体 应 用 ． 求 求
第１ ４卷 第 ４ 期 ２ １ 年 ７月 ０ １
高 等 数 学 研 究 Ｓ ＵＤ Ｅ Ｃ Ｌ Ｅ Ｔ Ｉ ＳＩ Ｏ Ｌ Ｅ ＭＡＴ ＝ ． Ｎ ＩＥ Ｉ １ ：
Ｖｏ ． ４， ． １ １ ＮＯ ４
Ｊ Ｉ。２ １ ｕ． ０ ｌ
多 项 式 长 除 法 的 应 用
齐 新 社 ，齐利 华 ，李 锋 。
Ｋｅｗ ｒｓ ｔ ｅｓ ｃ ｎ ｙ ｅｏ ｕ ｆ ｃ ｎ ｅ ｒ ｌ ａｃ ｌｔｏ ｙ ｏｄ ： ｈ ｅ ｏ ｄ ｔ ｐ ｆｓ ｒａ ｅｉ ｔｇ ａ ，ｃ ｌｕａ ｉｎ，ｍｅｈ ｄ ｔｏ
容 易产生 错误 ． 多项 式 长 除法 在 很 多 题 型 中都 能 应 用 ， 如求 例 多 项式 除法 的商式 和余 式 、 积 分 、 导 、 解 微 分 求 求 求 方 程及线 形代 数 中 的求 逆 等 ． 面 主要 就 针 对 其 在 下
高 等数学 中的应用 举例 说 明．
ｏ ●ｏ ● ｏ ●ｏ ●・ （＞●ｏ ●ｏ ●ｏ ●
一
Ｏｎ ｔ ｌ ｕ ａ ｉ ｎ ｆＳ ｃ ｎ ｐｅ Ｓ ｒ ａ ｅ Ｉ ｅ ｒ ｌ ｈｅ Ｃａ ｃ ｌ ｔｏ ０ ｅ ｏ ｄ Ｔｙ ｕ ｆ ｃ ｎｔ ｇ ａ ｓ
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关 键 词 长 除法 Ｉ 项 式 ； 数 ； 分 ； 分 方 程 多 导 积 微
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所谓 多项 式长 除法 就是 多 项式 与 多项式 做类 似 于 数与数 的除法 ， 需 要 任何 技 巧 ， 不 只要 你会 加减 、 乘 除就够 了． 过程 如下 ： 把 分 子 、 先 分母 按 降 幂 排好 序； 以最 高次幂 为 准 ， 行试 商 ； 进 依次 试 商 ， 到余式 直 的最高次 幂小 于分 子 的最 高 次 幂． 要 注 意 的 是被 需 除 式和 除式都 要按 一 定 降 幂或 升 幂 次序 排 列 ， 否则
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况， 多项 式 长 除 法 在 解 决 其 他 问题 方 面 也 有 巧 妙 的应用 ， 下例． 见
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１ 在 有 理 函数 积 分 中 的 应 用
有理 函数 的积 分一 直是 微 积分 里 面重要 而又 困 难 的一部 分 内容 ， 关键 也 就是 能 否对 分 子 分 母 进行 化 简 ， 化为 多项 式 的积分 ． 转 因而多 项式 长 除法就 显 得 越发重 要 ．
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例１１ 不 积 ｆ １ｌ 定 分 １ ］ ２ 求
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摘
要 通 过 实 例介 绍 多 项 式 长 除 法 在 有 理 函数 积 分 、 高 阶 导数 、 解 微 分 方 程 中 的 具体 应 用 ． 求 求
第１ ４卷 第 ４ 期 ２ １ 年 ７月 ０ １
高 等 数 学 研 究 Ｓ ＵＤ Ｅ Ｃ Ｌ Ｅ Ｔ Ｉ ＳＩ Ｏ Ｌ Ｅ ＭＡＴ ＝ ． Ｎ ＩＥ Ｉ １ ：
Ｖｏ ． ４， ． １ １ ＮＯ ４
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多 项 式 长 除 法 的 应 用
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