小船渡河模型含答案

运动的合成与分解实例——小船渡河模型

一、基础知识

（一）小船渡河问题分析

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．

(3)三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d

v1

(d为河宽)．

②过河路径最短(v2

角为α，cos α＝v2 v1 .

③过河路径最短(v 2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法

垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆

心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最

短．由图可知：cos α＝v1

v2

，最短航程：s短＝

d

cos α

＝

v2

v1

d.

（二）求解小船渡河问题的方法

求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．

无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是

船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，

一般情况下与船头指向不一致．

(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流

方向和船头指向分解．

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．

(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法

则求极限的方法处理．

二、练习

1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：

(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．

当船头垂直河岸时，如图所示．

合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.

t＝d

v2

＝

180

5

s＝36 s

v＝v21＋v22＝5

2

5 m/s

x＝vt＝90 5 m

(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．

有v2sin α＝v1，

得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短．

x′＝d＝180 m.

t′＝

d

v2cos 30°

＝

180

5

2

3

s＝24 3 s

答案(1)垂直河岸方向36 s 90 5 m (2)向上游偏30°24 3 s 180 m

2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系

如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是

( )

A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线

C．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2D．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案C

解析船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝100

5

s＝20 s，A错误；由

于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B错误；船在最短时间内渡河t＝20 s，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝0到x＝

50 m之间均匀增加，则a1＝4－0

10

m/s2＝0.4 m/s2，同理x＝50 m到x＝100 m之间a2＝

0－4

10

m/s2

＝－0.4 m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2，C正确；船在河水中的最大速度为v＝52＋42 m/s＝41 m/s，D错误．

3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如

图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )

A．船渡河的最短时间是60 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C．船航行的轨迹是一条直线 D．船的最大速度是5 m/s答案BD

解析当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝d

v2

＝

300

3

s＝100 s，A错，B对．因

河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v＝42＋32 m/s＝5 m/s，C错，D对．

4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线

游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行

和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时

间t甲、t乙的大小关系为( )

A．t甲

C ．t 甲>t 乙

D ．无法确定 答案 C

解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则

t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OA v 0－v ＝2v 0x OA v 20－v 2 t 乙＝2x OB v 20－v

2＝2x OA v 20－v 2<2v 0x OA v 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．

5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距23

3H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是

( ) A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同

B ．v ＝2v 0

C ．两船可能在未到达对岸前相遇

D ．甲船也在A 点靠岸

答案 BD

解析 渡河时间均为H

v sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船

在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)

H

v sin 60°＝233H ，刚好到达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确． 6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，

流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则

( )

A ．快艇的运动轨迹可能是直线

B ．快艇的运动轨迹只能是曲线

C ．最快到达浮标处通过的位移为100 m

D ．最快到达浮标处所用时间为20 s

解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝

Δv Δt ＝0.5 m/s 2，最短位移 为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12

at 2得：t ＝ 2x a ＝ 错误! s ＝20 s ，即最快到达浮标处 所用时间为20 s ，D 正确．

答案 BD