二次曲线的一般理论

221340;x kt

x y xy y y k t

=+⎧+--=⎨

=+⎩与二次曲线交于一点{}{}()()

00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论

§5.1 二次曲线与直线的相关位置

1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得

()()()2

22112110,00

x x x x x x --------==即

故直线在二次曲线上.

2.试决定k 的值,使得

(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;

(2) 直线

(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;

(4) 已知直线11x t

y t =+⎧⎨=-⎩ 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k

的值

解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得

()

()22

250

2450

4160

4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点.

(2). 二次曲线的矩阵为1

2

231/201/20

----

且 .

()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,

k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2

210,11210,650,4

k k k k ∆=+---=-+=即

即{}{}()()00,,1,,1,0,

v X Y k x y ==121,5,

k k ==()2

2

211,2011

01

1

X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时，

()()()()()21211002002100200430,1,3,

11).1,,10,213

2).3,,,150,

2

1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+

≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1

10

1

1

(1)/20(1)/21

k k -----

且

令

解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.

(4). 二次曲线的系数矩阵为2

21/22

11/21

k

----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27

[(1)(1)](2)(3)02

k k k ++---+<

解得 49

24

k >

，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49

24

k ∴>

时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的.

()()()22221230;

23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+=

解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.

201;0:11:0,101

X Y I ==

=-或且〈，

()(

)(

)()

2222,3420,:2:32:3,

32

20,2

2

X Y X XY Y X Y I φ=++==-±

--=

=>时或且

∴ 曲线有两个共轭的虚渐进方向,是椭圆型的.

(3)

∴曲线有两个渐进方向,是双曲型的.

2. 判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.

()()()222222

1224630;

2442210;

396620.x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+--+=-++--=-+-+=

解：(1)

2111012

I -=

=≠-，故为中心曲线;

()

13

1112212222312122

4

1,111120,,2

4

A a a a I a a a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

-=

==≠-有且

∴ 曲线为无心曲线;

()

13

111212222393333

11,3,3

1

0a a a A a a a --⎡⎤

⎢⎥=-===-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且有

∴曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心.

()()()()2222222215232360;

22526350;3930258150;444420.x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+-+-=++--+=-++-=-++-=

()510

3131,3

2828302x y x y x y --=⎧⎪

==-⎨-++=⎪⎩解由解得