二次曲线的一般理论
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221340;x kt
x y xy y y k t
=+⎧+--=⎨
=+⎩与二次曲线交于一点{}{}()()
00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得
()()()2
22112110,00
x x x x x x --------==即
故直线在二次曲线上.
2.试决定k 的值,使得
(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;
(2) 直线
(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;
(4) 已知直线11x t
y t =+⎧⎨=-⎩ 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k
的值
解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得
()
()22
250
2450
4160
4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点.
(2). 二次曲线的矩阵为1
2
231/201/20
----
且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,
k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2
210,11210,650,4
k k k k ∆=+---=-+=即
即{}{}()()00,,1,,1,0,
v X Y k x y ==121,5,
k k ==()2
2
211,2011
01
1
X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时，
()()()()()21211002002100200430,1,3,
11).1,,10,213
2).3,,,150,
2
1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+
≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1
10
1
1
(1)/20(1)/21
k k -----
且
令
解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.
(4). 二次曲线的系数矩阵为2
21/22
11/21
k
----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27
[(1)(1)](2)(3)02
k k k ++---+<
解得 49
24
k >
，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49
24
k ∴>
时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的.
()()()22221230;
23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+=
解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
201;0:11:0,101
X Y I ==
=-或且〈，
()(
)(
)()
2222,3420,:2:32:3,
32
20,2
2
X Y X XY Y X Y I φ=++==-±
--=
=>时或且
∴ 曲线有两个共轭的虚渐进方向,是椭圆型的.
(3)
∴曲线有两个渐进方向,是双曲型的.
2. 判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.
()()()222222
1224630;
2442210;
396620.x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+--+=-++--=-+-+=
解：(1)
2111012
I -=
=≠-，故为中心曲线;
()
13
1112212222312122
4
1,111120,,2
4
A a a a I a a a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
-=
==≠-有且
∴ 曲线为无心曲线;
()
13
111212222393333
11,3,3
1
0a a a A a a a --⎡⎤
⎢⎥=-===-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且有
∴曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心.
()()()()2222222215232360;
22526350;3930258150;444420.x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+-+-=++--+=-++-=-++-=
()510
3131,3
2828302x y x y x y --=⎧⎪
==-⎨-++=⎪⎩解由解得