勤学早专题 数学七年级上册(学生版)2021年

第一章有理数

微课小专题1 数轴、相反数、绝对值

例1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示

（1）请在数轴上标出|a|,-|b|,-c

(2)试比较a，b，c，|a|，-|b|，-c的大小(用“<”将它们连接起来)

例2.已知a，b为有理数，下列说法：

=-1；

①若a，b互为相反数，则a

b

②若|a|=|b,则a=b;

③若数轴上表示数a，b的点到原点的距离相等，则|a|=|b|；

④若|a|>|b|，且a大于其相反数，则a>b

其中正确的结论有____________(填正确结论的序号).

实战演练

1.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|;

(1)a______0,b_______0,c_______0,a______b,c______b.(用“>”，“=”或“<”填空)；

=__________;

(2)a+b=________,a

b

(3)在数轴上标出一b与-c，试比较a，b，c，-b，-c的大小(按从小到大的顺序排列).

微课小专题2绝对值的性质及应用【例】若|a|=3，则a=______,若|a-2|=3,则a=__________;

(2)已知|a|=2，|b+1|=5，a>b，求|a+b|；

(3)已知|a+b|与2|b-6|互为相反数，求|a-b|。

实战演练

1.(1)数轴上点A表示的数为a，若点A到原点的距离为5，则a=________；若点B表示的数为1，点A到点B的距离为5，则a=_________;

(2)若|a-2|=5,则a=__________;

(3)若a+1=2,|2b-1|=7,a

(4)若a+3与|b-5|互为相反数，求|a-b|.

微课小专题3有理数的加减的实际应用【例】高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下(单位：千米)：

+18,-9,+7,+11,-14,-3,-6,-8,+9,+15

(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远?

(2)养护过程中，最远处离出发点有多远?

(3)若汽车行驶每千米耗油量为0.08升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升?

实战演练

1.某支股票上周末的收盘价格是10.00元，本周一到周五的收盘情况如下表：(“+”表示股票比前一天上涨，“一”表示股票比前一天下跌)

(1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元?

(2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了?

(3)这五天的收盘价中最高的是周_____；最低的是周______;相差________元。

2小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路

程记为负数，爬行的各段路程依次为：(单位：cm)+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10。

(1)小虫最后是否回到出发点A?

(2)小虫离开原点最远是多少cm?

(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻?

(1)-1.3+(-2.7)+4.5-5.7+3.5+2.7; (2)27,45-(-32.39)+72.55+(-12.39); (3)-24

15

+(-2

3

)-53

16+714

15

+(-1015

16

);

(4)12+16

+1

12

+...+

1

9900

.

实战演练

1.计算:

(1)-19+6-(+11)-(-14);

(2)(-0.7)+3.8+(-1.3)+(-3.8)+5； (3)11

3+(-2

5)+4

15+(-4

3)+(-1

5);

(4)121

4-(+1.75)-(-51

2)+(-7.25)-(-23

4)-2.5; (5)

11×3+

1

3×5

+

1

5×7

+...+

1

2019×2021

(1)(-3)×(-7

5

)×(-1

3

)×4

7

;

(2)-415÷725÷(?514)×(?12

5) (3)-4

7

×3.59—4

7

×2.41+4

7

×(-3);

(4)(-14+13?5

12)×(-24) (5)(-1057

9)÷(-7)

实战演练

1.计算

(1)(-2.5)×0.37×1.25×(-4)×(-8); (2)(-138)×(-8

7 )+52×8

7+183×(-8

7) (3)(5

6

?3

4?

712

)÷(?1

36

)

(4)89110

÷(-9)

(5)-512÷(114?58?5

12)

微课小专题6 乘方与数式规律

例.观察下列三行数：

①1，-2，4，-8，16，-32，.......

②2，-4，8，-16，32，-64，......

③4，-2，10，-14，34，-62，......

（1）第①行数第8个数为_______;第②行数第8个数为________;第③行第8个数为______.

（2）第①行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）取每一行的第n个数，这三个数的和能否为-2558？若能，求出这三个数；若不能，请说明理由。

实战演练

1.观察下列三行数

①-2，4，-8，16，-32，64，.......

②-1，2，-4，8，-16，32，......

③0，6，-6，18，-30，66，......

（1）第①行数中的第n个数为__________（用含n的式子表示）；

（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否为-318？若能，求出n的值；若不能，请说明理由。

（3）如图，用一个长方形方框框柱六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为-156，求方框中左上角的数。

微课小专题7 绝对值与分类讨论思想

[方法技巧]运用零点分段法分类讨论解决多绝对值问题。 金例讲析

[例] 阅读下列材料并解决有关问题。

我们知道|x|=??

?

??=），＜），），＞0(-0(00(x x x x x 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式。例如：化简代数式|x+1|+|x — 2|

时，可令 x+1=0和x —2=0，分别求得x=—1和x=2(称—1，2分别为|x+1|与|x —2|的零点值)。在有理数范围内，零点值x=—1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x<—1；②—1≤x<2；③x ≥2。

从而在化简代数式|x+1|+|x —2|时，可分以下三种情况： ①当x<—1时，原式=—(x+1)—(x —2)=—2x+1； ②当—1≤x<2时，原式=(x+1)—(x —2)=3； ③x ≥2时，原式=(x+1)+(x —2)=2x —1。 通过以上阅读，请你解决问题：

(1)|x+2|和|x —4|的零点值是 ； (2)化简代数式|x+2|+|x —4|； (3)解方程|x+2|+|x —4|=10。

实战演练

1。 (1)|x —12|和|x+4| 的零点值是 ； (2)化简代数式|x —12|+ |x+4|； (3)解方程|x —12|+|x+4|=20；

(4)若|x —12|=2|x+1|+4，直接写出x 的值为 。

[方法技巧]利用数形结合及分类讨论思想解决绝对值最值问题。

金例讲析

[例] 认真阅读下面的材料，完成有关问题。

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如|5—3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5—(—3)|，所以|5+3|表示5，—3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|= |5—0 |，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离。—般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a ，b，那么A，B之间的距离可表示为|a—b|。

(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，—2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为(用含绝对值的式子表示)；

(2)利用数轴探究：

①|x—3|+ |x—2|的最小值是__ __；

②求|x—3|+|x—2|+ |x+1|的最小值以及此时x的值。

实战演练

1。利用数轴探究：

(1)|x—1|+ |x—2|的最小值为____；

(2)|x—1|+|x—2|+ |x—3|的最小值为____；

(3)|x—1|+|x—2|+|x—3|+|x—2020| 的最小值为______ ，此时x的取值范围为______ 。

[方法技巧]熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法，运用分类讨论思想及方程思想解题。金例讲析

[例]如图，A，B，C 是数轴上的三点(点B在点A的右边)，点A表示的数为—8，A，B 两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的3倍，即AB= 3OA。

(1)求点B表示的数；

(2)若AC+ BC= 32，求点C表示的数；

(3)若AC= 3BC，求点C表示的数。

1。如图，点A，B在数轴上表示的数分别为—4和十16，A，B两点间的距离可记为AB。

(1)点C在数轴上A，B两点之间，且AC= BC，则点C对应的数是____；

(2)点C在数轴上A ，B两点之间，且BC= 3AC，求点C对应的数；。

(3)点C在数轴上，且AC+ BC= 30，求点C对应的数?

微课小专题10 数轴与动点问题(一)行程问题

[方法技巧]数轴上的行程问题一般设运动时间为t，用含t的式子表示出点与点之间的距离，运用方程思想及分类讨论思想计算即可得结果。

金例讲析

[例]如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为11，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t >0)秒。

(1)数轴上点B表示的数是_____ ，当点P运动到AB中点时，它所表示的数是______；

(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，求:

①当点P运动多少秒时，点P追上点Q?

②当点P与点Q之间的距离为8个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数。

[方法技巧]数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果。

金例讲析

[例]如图，在数轴上，点A 表示一10，点B表示11，点C表示18。动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动。设运动时间为t秒。

(1)当t为何值时，P ，Q两点相遇?相遇点M所对应的数是多少?

(2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时OP= BQ。

[方法技巧]设参计算法解决动点定值问题。设动点表示的数，若是行程问题-般设运动时间，

从而表示出两点间的距离，计算即可得结果。

金例讲析

[例]如图，数轴上有三点A，B，C，点B，C对应的数分别为—800，200，AB : AC=2: 3。

(1)求点A对应的数；

(2)动点P，Q分别从点B和原点O同时出发向左运动，点P，Q的速度为10个单位长度/s和5个单位长度/s，点M到P，Q两点的距离相等，点Q在从点O运动到点A的过程中，QC—AM的值是否发生变化?若不变，求其值；若变化，说明理由。

第二章 整式的加减

微课小专题13 整式及其应用(一)列代数式

[方法技巧]审清题意，正确表达量与量之间的关系，特别注意代数式的书写。 金例讲析

[例1]随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n 元，降低m 元后，又降低20% ，那么该电脑的现售价为( ) A.(51n 十5

1

m)元 B.(

54n 一5

4

m)元 C. (n —

5

1

m)元 D.(

5

1

n —m)元

[例2]一项工作， 甲单独做需a 天完成，乙单独做需b 天完成，甲。乙合做7天后，余下的由乙单独做，还要多少天完成?

实战演练

1.a 表示一个两位数，b 表示一个一位数，如果把b 放在a 的右边组成一个三位数。则这个三位数是( ) A.100b+a B.10a+b C.a+b D.100a+b

2。在一个地球仪的赤道上加铁丝箍，若地球仪的半径增大1米，需增加m 米长的铁丝；假设在地球的赤道上加一个铁丝箍，同样地球的半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 大小关系( ) A.m>nB. m

3.李师傅下岗后，做起了小生意，第—次进货，他以每件a 元的价格购进了30件甲种小商 品，以每件b 元的价格购进了40件乙种小商品，且a

(1)若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元?(用含有a ，b 的式子表示结果)； (2)若李师傅将两种商品都以2

b

a 元的价格全部售出，他这次买卖是赚钱还是亏本?请说明理由。

微课小专题 14整式及其应用(二)整式的有关概念

【方法技巧】 理解单项式和多项式的次数、项和系数. 金例讲析

【例1】多项式7xm 十kx 2—(3n +1)x 十5是关于x 的三次三项式,并且一次项系数为-7.

求m ＋n-k 的值.

【例2】若关于x 的多项式(a —3)2x 3+x ∣b ∣一2x +b +1的次数与单项式xy 5

2

-的次数相同， 求a 与b 的值.

实战演练

2. 如果2x n y 4与

n

m y

x m -222

1都是关于x ,y 的六次单项式，且系数相等，求m ,n 的值。

3.若多项式5-（m +3）a +a n 是关于a 的二次二项式，求m n 的值。

微课小专题15 整式及其应用(三)利用代数式揭示规律

【方法技巧】 从特殊到一般﹐用不完全归纳法揭示规律. 金例讲析

【例1】古希腊数学家把1,3,6,10，15,21,…叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为a 1,第二个三角形数记为a 2,…第n 个三角形数记为a n ,则

2020

3211...111a a a a ++++的值是( ) A.

20212020 B.10102019 C.10112021 D.2021

4040

【例1】下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成. 依此规律,第n 个图案中白色正方形的个数为____________.

实战演练

1.用式子表示下列各数:

(1)数列:1,2,4，7,……,则第6个数为____,第n 个数为____; (2)数列:2，5,10,17,26,……,则第6个数为___;第n 个数为____; (3)数列:—1，+3，一5，＋7,……,则第n 个数为____;

2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有_____个小圆.

3.观察下面的三行单项式:

x , 2x 2，4x 3，8x 4， 16x 5，32x 6，… ; ①

一2x ，4x 2，一8x 3，16x 4，一32x 5，64x 6，… ; ② 2x 2，一3x 3，5x 4，一9x 5，17x 6，-33x 7，…;③

根据你发现的规律，第一行第8个单项式为______﹔第二行第9个单项式为_________; 第三行第n 个单项式为___________________.

微课小专题16整式及其应用(四)求代数式的值

【方法技巧】运用整体思想求代数式的值. 金例讲析

【例1】(1)若m 2一5m 十2=0,则2m 2-10m +2020=________________.

(2) 若a 2＋2ab =5,ab +2b 2= -2,则a 2一4b 2=________,2a 2+5ab ＋2b 2=__________.

【例2】 已知多项式ax 28—bx 14十cx 6—8,当x =3时,多项式的值为2014,则当x =-3时,ax 28-bx 14十cx 6＋8的值为______________________

实战演练

1.(1)已知a 2—2a =1,则6a —3a 2一1的值为___________﹔ (2)若3x 2—4x 十6=9,则x 2一

3

4

x 十6的值为__________·

2.已知y =ax 7+bx 5＋cx 3＋dx +e ,其中a ,b ，c ,d ,e 为常数.当x =2时,y =23;当x = -2时，y = -35,

求e 的值.

3.已知(x 2—x 十1)6=a 12x 12＋a 11x 11+a 10x 10+...+a 2x 2+a 1x +a 0求a 12+a 10+a 8+...+a 2+a 0的值.

微课小专题17整式的加减(一）化简与求值

【方法技巧】灵活地去括号,合并同类项. 金例讲析

【例1】当5

1

x +(y +5)2=0时， 求整式一3(x 2y -xy 2)—[2xy -32(1一6xy 2)一4x 2y ]十31(1＋2

3

xy )的值.

【例2】已知a ,b ，c 满足:①5(a +3)2+2|b-2|=0;②3

1x 2-a y 1+b+c 是7次单项式.求多项式a 2b —[a 2b —(2abc —a 2c —3a 2b )—4a 2c ]一abc 的值.

实战演练

1. 已知:a =1,b =2,求整式一8ab 一[4a —36ab 十5(ab 十a 一b )一7a ]的值.

2.已知

5

2

(x —5)2+2│y -2|=0,求代数式(2x 2—3x y +6y 2)--2(3x 2—xy +9y 2)的值.

3.小虎在计算某整式减去xy +2yz 一4xz 时，由于粗心，误以为加上此式，得到结果为xy -2xz ,请你帮助小虎求出此题的正确结果.

微课小专题18整式的加减(二）不含某些项问题讨论

【方法技巧】不含某项或与字母取值无关,就是这项或含该字母的项的系数为零.

金例讲析

【例1】已知关于x和y的代数式mx4十4nxy3+3x4—xy3+2x—xy十1不含四次项,求m2—4n的值.

【例2】若代数式(2x2十ax一y十6)一(2bx2-3x十5y一1)的值与字母x所取的值无关，求代数式2a3一2b2一(4a3-2b2)的值.

实战演练

1.若关于x,y的多项式mx3+3nxy2＋2x3—xy2+y不含三次项，求2m十3n

2.已知A=2x2十4xy—2x—3,B=x2+xy＋2，且3A十6B的值与x无关你能求出字母y的值吗?

3.若代数式(2x2十ax一y十b)一(2bx2---3x+5y-1)的值与字母x的取值无关,那么请你求出3(a2--ab-b2)-(4a2+ab十b2)的值.

微课小专题19 整式的加减(三）绝对值的化简

【方法技巧】零点讨论法化简绝对值. 金例讲析

【例1】有理数α,b 在数轴上的对应点位置如图所示,试化简|a |-2|a +b 一1|一

3

1

|b -a —1|.

【例2】当x 在什么范围时，|x 一3|+|3一5z |＋6x 为定值?并写出这个定值.

实战演练

1.|x ＋1|＋l x —2|的最小值为______,此时x 的取值是___________________.

2. 已知如图,数轴上有A ,B ,C 三点分别对应有理数a ,b ，c ,若|a|>b>|cl ，

试化简:3|b 一c l 一2|a ＋2b |十|b +c |.

微课小专题20 整式的加减(四）整式加减的实际应用

【方法技巧】挖掘隐含线段的关系,表达周长与面积.

【例】如图所示,用三种正方形六个和一个缺角的长方形AFHGKE拼成长方形ABCD，其中GH=a,GK=2,设BF=x.

(1)DM=_____________;(用含x和a的代数式表示)

(2)求长方形ABCD的周长.(用含x和a的代数式表示)

实战演练

1.我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空,全国人民倍受鼓舞.某校开展了火箭模型制作比赛，下图为火箭模型的截面图，下面是梯形,中间是长方形,上面是三角形.

(1)用a,b的代数式表示该截面的面积S;

(2)当a=2cm,b=3cm时,求这个截面的面积.

⒉某公园准备修建一块长方形草坪,长为40米，宽为25米.并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米,回答下列问题:

(1)修建十字路的面积是多少平方米?

(2)草坪(阴影部分)的面积是多少?

(3)如果十字路宽2米,那么草坪(阴影部分)的面积是多少?