图论讲义第7章-平面图

第七章 平面图

§7.1 平面图的概念

定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。

例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。

根据定义，下列定理是显然的。

定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。

定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。

定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。 注：由以上定理知

(1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。

(2) 环边和重边不影响图的平面性。故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。 定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。包围一个面的所有边称为该面的边界。一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。

定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即

其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。

证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。可见每条边在计算总次数时，都提供2。因而结论成立。 1

deg()2().r i

i R G ε==∑

定义7.1.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u, v之间加边uv 后，所得之图成为非平面图，则称G是极大平面图。

易见K1, K2, K3, K4, K5– e 都是极大平面图。

定义7.1.4 若非平面图G任意删除一条边后，所得之图都是平面图，则称G为极小非平面图。

容易证明下列定理

定理7.1.5 极大平面图是连通的。

定理7.1.6 n阶（n≥ 3）极大平面图中没有割边和割点。

§7.2 欧拉公式

定理7.2.1（欧拉公式）设G是连通的平面图，n, m, r 分别是其顶点数、边数和

面数，则

n – m + r = 2。

证明：对边数m作数学归纳法。

当m=0时，因G是连通图，所以G只能是平凡图，结论显然成立。

假设当m=k 时，结论成立。下面证明m=k+1 的情况。

若G是树，则G至少有两片树叶。设v是G 的一片树叶。令G′=G−v，则

G′仍是连通图, 且G′的边数m′ =m−1=k, 由归纳假设知, n′–m′ +r′=2, 而n′ =n−1,

r′ =r, 于是

n – m + r = (n′ +1) – (m′ +1) + r′ = n′–m′ +r′= 2。

若G不是树，则G中含有圈。设边e 在G 的某个圈上。令G′=G−e，则G′

仍是连通图，且G′的边数m′ =m−1=k，由归纳假设知

n′–m′ +r′= 2, 而n′ =n, r′ =r −1 ，

于是n – m + r = n′ – (m′ +1) + (r′+1)= n′–m′ +r′ = 2 。

证毕。定理7.2.2（欧拉公式的推广形式）对于具有w(w≥ 1)个连通分支的平面图G, 有

n – m + r = w+1。

其中n, m, r 分别是其顶点数、边数和面数。

证明：设G 的连通分支分别为G1, G2, …, G w，并设G i 的顶点数、边数和面数分别为n i, m i, r i。由欧拉公式可知

定理7.2.3 设G 是连通的平面图，且每个面的次数至少为 l (l ≥ 3)，则G 的边数 m 与顶点数 n 有如下关系：

(2).2

l m n l ≤−− 证明：由定理7.1.4可知

推论7.2.1 K 5 和 K 3,3 都不是平面图。

证明：若 K 5 是平面图，由于K 5中无环边和重边，故每个面的次数至少为3，

而 K 5 的边数为10。由定理7.2.3，应有 , 这是不可能的。因此K 5不是平面图。

若K 3,3是平面图，由于K 3,3中最短圈的长度为4，故每个面的次数至少为

4，而K 3,3的边数为9。由定理7.2.3，应有 , 这是不可能的。因此K 3,3不是平面图。证毕。

推论7.2.2 K n (n ≥ 5)和K 3,n (n ≥ 3)都不是平面图。

证明：由定理7.1.2和推论7.2.1立即可知。

推论7.2.3 K 5 和 K 3,3都是极小非平面图。

由推论7.2.1和极小非平面图的定义容易验证。

定理7.2.4 设G 是具有w (w ≥1)个连通分支的平面图, 各面的次数至少为l (l ≥3)，则G 的边数m 与顶点数n 有如下关系：

证明：利用欧拉公式的推广形式(定理7.2.2)，与上一定理类似可证。

1111111

2,(1,2,).,.,,

1,2()1i i i w w i i i i w i i w w w w i i i i i i i i i i n m r i w m m n n G G G r r w w n m r n m r n m r w =======−+=====

−+=−+=−+=−++−∑∑∑∑∑∑∑ 易知由于的每个分支有一个外部面而只有一个外部面故的面数于是整理即得结论.

证毕.

12deg()2.,2(2),r i i m R l r r m n m l m n ==≥⋅=+−≥+−∑

由欧拉公式可知将此式代入上式得整理便得结论。证毕。

310(52)932≤−=−49(62)842

≤−=−(1).2

l m n w l ≤−−−