物理学 第四章

(2) 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
当刚体绕定轴转动的角加速度 =常量 时，刚体做匀变速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at 0 t 2 2 1 1 x x0 v0t 2 at 0 0t 2 t
能运用以上规律分析和解决包括质点和 刚体的简单系统的力学问题．
§1
刚体运动的基本概念
一、刚体模型
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不 变的物体
① 刚体和质点一样是一种理想的力学模型 ② 刚体可以看成是由无数质点构成的质点组 ③ 刚体无论在多大的外力作用下或刚体无论 作何运动，刚体内任意两质点之间的距离 保持不变
M J
结论：刚体所受到的对某一定轴的合外力矩等于刚体对
该轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加 速度的乘积。
讨论：（1）公式中的M是作用在刚体的合外力矩；
（2）刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可 以写成矢量关系式
M J
（3）刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本 方程，如同质点力学中的
二、 刚体的平动
Î ï
Ì å
× Æ ÷ ½
¶ ¯
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
c
a b
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相 同。
刚体的平动的运动 规律完全按符合质 点运动规律 特点：各点位移、速度、加 速度均相同----可视为质点 各点的运动轨迹相同 刚体质心的运动代 表了刚体平动中每 一质元的运动
第四章 刚体力学
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的 物理意义，并掌握角量与线量的关系．
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定 轴转动的转动定理．
三 理解角动量概念，掌握角动量定律，并能处 理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下 的角动量守恒问题.
3
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律．
J r dm
2 0
m
R dr r
m

R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
O
3. J 与转轴的位置有关
z
J 0
L
1 2 2 x dx ML 3
M O dx
L x
z
1 2 J L / 2x dx ML 12
L/2 2
M
O dx
L x
4. 平行轴定理
z'
v v 2a( x x0 ) 2 ( 0 )
2 2 0
2 2 0
四
角量与线量的关系 d ω dt 2 dω d 2 dt dt v rωet

an a
r

et v a
t
at r an rω
2
2 a ret rω en
则
J z M z
或
d Jz Mz dt
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动 惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所 有外力对该轴力矩的代数和。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 — 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
刚体定轴转动定律
z M L C
J z' J z ML
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量； J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L
两轴间垂直距离。
5. J 的计算 （1）按定义计算
例5.3 求长为L质量为m 的均匀细棒对 图中不同轴的转动惯量。
解: 取如图坐标，dm = dx
A
dm B
x
L
J A x dx mL / 3
2 2 0
L
JC
A
L 2 L 2
x dx mL / 12
2 2
C L/2 dm L/2
B
x
1 1 1 2 L 2 2 J C＋m mL mL mL J A 4 3 2 12
2
求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的 转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）
d π 2 t 由 dt 150 π t 2 t dt 得 d 0 150 0 π 3 t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
33

例题3 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t ct 得 d c t d t 0 0 2
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min 600π rad s
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1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
F
力不在垂直于轴的平面内
z
r
F//
M z ( F ) F r sin F h Fτ r
2.力对点的力矩
h θ
F
F
A
Fn
F
MO r F
M O rF sin
Mo
O .
大小
F
方向由右螺旋法则确定。
r
θ
力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
二、刚体绕定轴转动微分方程 作用在 mk上的外力 Fk ，内力 f k dvk mk Fk f k dt 在圆规迹切线方向
z

o
mk
vk
mk ak mk rk Fk f k

转动平面

z

动时， 和为正值；刚
体沿顺时针方向转动时，
P
v
x
和为负值。
参考方向
(2) 角速度 刚体对转轴的(瞬时)角速度
d dt
刚体定轴转动时，角速度可看 面 成是只有正、负的代数量。其 动 平 转 0 正负可由右手螺旋法则决定。 右手螺旋法则：拇指向上，若四 指弯曲方向与刚体的转动方向一 致（即刚体沿逆时针转动）时， 则角速度为正，反之为负。
面 动 平 转 0 ω

P
v
x 参考方向
刚体转动的角加速度是矢量
d dt
方向：a 的方向与相同 当刚体转动加快时， 角加速度方向与角速度方 向相同；当刚体转动减慢 时，二者方向相反。
面 动平 转 0


P
v
x
参考方向
ω
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
三、转动惯量 刚体质量不连续分布 刚体质量连续分布
J mi ri 2
J r dm
2
i
确定转动惯量的三个要素: (1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。
1. J 与刚体的总质量有关
例如, 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转 动惯量。
z M O
L 2
L dx
L 2
x
J 0 x dx 0
F ma
力矩是使刚体转动产生角加速度的原因。
讨论 (1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 F ma M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效 应的。 d dv M J J F ma m dt dt (2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚 体的转动惯性。
J L1
1 2 J o mo R 2
1 2 mL L (棒对边缘轴) 3
(圆盘对中心轴)
2
J L 2 J 0 m0 d
(圆盘对棒边缘轴)
1 1 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 2
(2) 用平行轴定理、迭加法
M
J = J 大– J 小 J = J 大+ J 小 (3) 实验法
19
四、描述刚体转动的物理量
（1）描述刚体转动的物理量是： 角位移、角速度、角加速度等。
（2）运动学中讲过的角位移、角 速度、角加速度等概念，以及有关 公式都可适用于刚体的定轴转动。
面 动平 转
0
ω
转动平面：垂直于转动轴所作的平面
任选刚体上的任意点P点为参考点
(1) 角坐标，角位移
角坐标、角位移 有正负之分，规定： 刚体沿逆时针方向转
解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4
将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
d 3 4 2 3 (at bt ct ) a 3bt 4ct dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
d d (a 3bt 2 4ct 3 ) 6bt 12 ct 2 dt dt
d m t / e 540 πe t / 2 rad s 2 dt
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· min-1 ．转子的角加速度与时间成正 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 (1) 将 t=6 s 代入 ω m (1 e
t /
)
ω 0.95ωm 513r s
1
(2) 电动机在6 s内转过的圈数为
1 6 1 6 t / N ωdt ωm (1 e )dt 2π 0 2π 0 3 2.2110 r
(3) 电动机转动的角加速度为
由此可见飞轮作的是变加速转动。
§2
力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
h θ
F Fn
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 t / 后其转速随时间变化关系为： m (1 e ) 1 式中 m 540 r s ， 2.0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
M 1 2 x dx ML L 3
J铁 J木
2. J 与质量分布有关 例如, 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
J 0 R dm 0 R dl
2 2
L
2 πR
dl R
O m
R
2 3
2 πR
0
dl
m 2 2πR mR 2πR
例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
m 2mr dm ds 2 2πrdr 2 dr πR R
ω

P
v
x
参考方向
刚体转动的角速度是矢量
ω
k
方向： 右手螺旋 法则，即四指弯 曲方向与刚体的 转动方向一致， 拇指所指的方向 即是。
ω
动平 面 转 0

P
v
x
参考方向
ω
刚体对转轴的(瞬时)角加速度
d d a 2 dt dt
2
刚体定轴转动时，角加速度可 看成是只有正、负的代数量。 >0，角加速度方向与角坐标正 方向相同，刚体会加快转动； <0，角加速度方向与角坐标正 方向相反，刚体转动会减慢。
三、 刚体的转动
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆 周运动 转动轴：刚体转动围绕的那条直线 转轴可以是固定的或变化的 定轴转动: 转轴固定不动的转动

定轴转动 进动

滚动
v
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
两边乘以rk，并对整个刚体求和
( mk rk2 ) Fk rk f k rk
k k k
( m r ) Fk rk f k rk
2 k k k k k
其中
F r
k k k k
k
M z 称为合外力矩 ； 0
内力矩之和为零；
f r
k
k
2 J m r 令 z k k ，称为刚体对z轴的转动惯量。