简单的三角恒等变换

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填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
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反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
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跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
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(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
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和一些简单的应用.
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1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
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±
(3)T ：tan 2
α2＝
1－cos α 1＋cos α (无理形式)
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin 2x－1π2＋1－cos 2x－1π2

＝2

3 2 sin
2x－1π2－12cos
2x－1π2＋1＝2sin2x－1π2－π6＋1
＝2sin2x－π3＋1，∴T＝22π＝π.
2cos cos θ＋cos φ＝
2 cos
2
；
θ＋φ θ－φ cos θ－cos φ＝ －2sin 2 sin 2 .
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探究点三 辅助角公式
导引 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成
立时，cos φ＝ a ，sin φ＝ b ，sin θ＝ a ，
α2、cos
α2、tan
α 2
的值. 解 sin α2＝±
1－cos α 2 ＝±
1－2 13＝± 33，
cos α2＝±
1＋cos α 2 ＝±
1＋2 13＝± 36，
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tan α2＝±
1－cos α ＝±
1＋cos α
∵α为第四象限角， ∴α2为第二、四象限角. 当α2为第二象限角时，
θ＋φ
θ－φ
α－β＝φ，则 α＝ 2 ，β＝ 2 ，由此可以得出四个相应的
和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
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θ＋φ θ－φ
sin θ＋sin φ＝ 2sin 2 cos 2
；
θ＋φ θ－φ
sin θ－sin φ＝ 2cos 2 sin 2
；
θ＋φ θ－φ
不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2θ，
还要注意运用公式 tan
2θ＝1＋sincoθs
1－cos
＝ θ
sin θ
θ 来求值.
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跟踪训练 1 已知 cos θ＝－35，且 180°<θ<270°，求 tan 2θ的值. 解 方法一 ∵180°<θ<270°， ∴90°<2θ<135°，∴tan 2θ<0，
sin α
1－cos α
＝ 1＋cos α ＝ sin α (有理形式).
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2.辅助角公式：使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2
cos(x－θ)成立时，cos φ＝
a a2＋b2 ，sin φ＝
b a2＋b2 ，
sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3＝2cos(x－π6)
；
sin x－ 3cos x＝ 2sinx－π3＝－2cos(x＋π6)
.
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思考2 请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程.
答 asin x＋bcos x
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(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 解 当 f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kπ＋π2，即 x＝kπ＋51π2 (k∈Z)， ∴所求集合为{x|x＝kπ＋51π2，k∈Z}.
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a sin θ＝ a2＋b2 ，cos θ＝
b a2＋b2 ，其中 φ、θ 称为辅助角，
它的终边所在象限由 点(a，b) 决定.
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情境导学
三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变 换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式 结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角 的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数 式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并
3 6.
由 0<α<π3，得π6<2α＋π6<56π，
所以当 2α＋π6＝π2，
即
α＝π6时，S
最大＝
13－
63＝
3 6.
因此，当
α＝π6时，矩形
ABCD
的面积最大，最大面积为
3 6.
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第三章 三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换
主讲老师：读秀
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方
法，以及进行简单的应用.
学习目标
2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本 方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用. 3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明
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深入探究
思考2 由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化
和差公式，请你试一试写出这四个公式：
sin αcos β＝
；
cos αsin β＝
；
cos αcos β＝
；
sin αsin β＝
.
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思考 3 在上述①～④这四个等式中，如果我们令 α＋β＝θ，
＝

a2＋b2

a sin x＋ a2＋b2
b

cos x
a2＋b2

＝ a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝ a2＋b2sin(x＋φ)
(其中 sin φ＝ b ，cos φ＝ a ).
a2＋b2
a2＋b2
ห้องสมุดไป่ตู้
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深入探究
例1
已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求 sin

α－
33sin

αsin

α
＝sin αcos α－ 33sin2α
＝12sin 2α－ 63(1－cos 2α)
＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
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课堂检测
＝
1

3
3 2 sin
2α＋12cos

2α－

3 6
＝
13sin2α＋π6－
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深入探究
探究点一 半角公式的推导
思考 1 如何用 cos α 表示 sin α2、cos α2、tan α2？
答 ∵cos α＝cos2α2－sin2α2＝1－2sin2α2，
∴2sin2α2＝1－cos α，
∴sin2α2＝1－c2os
α ，
∴sin α2＝±
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例2 已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝ 2sin2x－π4. 因此，函数f(x)的最小正周期为π.
sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4＝ 2cos(x－π4)
；
sin x－cos x＝ 2sinx－π4＝－ 2cos(x＋π4)
；
3sin x＋cos x＝ 2sinx＋π6＝2cos(x－π3)
；
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3sin x－cos x＝ 2sinx－π6＝－2cos(x＋π3) ；
1＋cos α
小结 以上各公式统称为半角公式(不要求记忆).
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答
tan
α2＝1＋sicnoαs
1－cos
＝ α
sin α
α .
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探究点二 积化和差与和差化积公式的推导
思考1 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： ①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ 2sin αcos；β ②sin(α＋β)－sin(α－β)＝ 2cos αsin；β ③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ 2cos αco；s β ④cos(α＋β)－cos(α－β)＝ －2sin αsin.β
∴tan 2θ＝－
1－cos θ 1＋cos θ
＝－
11－ ＋－ －3535＝－2.
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方法二 ∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－ 1－cos2θ＝－ 1－295＝－45， ∴tan 2θ＝1＋sincoθs θ＝1＋－－45 35＝－2.
1－cos α 2；
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∵cos α＝2cos2α2－1，
∴cos2α2＝1＋c2os
α ，∴cos
α2＝±
1＋cos α 2；
∵tan2α2＝csoins22α2α2＝11－ ＋cc22ooss
α 1－cos
＝ α 1＋cos
α ，
α
∴tan α2＝±
1－cos α .
a2＋b2
a2＋b2
a2＋b2
cos θ＝ b ，其中 φ、θ 称为辅助角，它的终边所在象限由点 a2＋b2
(a，b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.
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思考 1 将下列各式化成 Asin(ωx＋φ)和 Acos(ωx－θ)的形式，
其中 A>0，ω>0，|φ|<π2，|θ|<π2.
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解 在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在 Rt△OAD 中，DOAA＝tan π3＝ 3，
∴OA＝
33DA＝
33BC＝
3 3 sin
α，
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∴AB＝OB－OA＝cos α－ 33sin α. 设矩形ABCD的面积为S，
则

S＝AB·BC＝cos
11－＋1313＝±
2 2.
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sinα2＝ 33，cosα2＝－ 36，tanα2＝－ 22； 当α2为第四象限角时， sinα2＝－ 33，cosα2＝ 36，tanα2＝－ 22.
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反思与感悟 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，