电路 第十三章 拉普拉斯变换

（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；
（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。
2．基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。
表13-3基尔霍夫定律的运算形式
名称
时域形式
运算形式
3．用运算法分析动态电路的步骤
复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对应。因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。具体步骤如下：
应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：（1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：
1．初始状态的确定。对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。
解由换路前电路求得
开关闭合后，控制量 为零，受控电流源开路。运算电路模型如图13-6(b)所示。由此模型可得
进行反变换，得
例13-12图13-7所示电路中二端口网络N的复频域短路导纳矩阵为 ，
求零状态响应 。
解题指导：本题为求冲激激励下的零状态响应。用拉普拉斯变换法求冲激作用下的响应时，不需考虑电容电压和电感电流的跃变问题，简化了计算，而且不容易出错。在包含了二端口网络的电路的求解中，注意利用二端口的特性方程辅助求解。
进行拉氏反变换，得
例13-10电路如图13-5(a)所示。开关S原来接在“1”端，电路已达稳态。当 时将开关S由“1”合向“2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压 （要求画出运算电路模型）。
解题指导：这是指数函数激励下的二阶电路的全响应的求解问题。首先正确地计算出换路前的初始状态，然后画出换路后的运算模型，本题中采用的电路分析的方法是回路电流法。
例13-15如图13-10（a）所示电路原处于稳态， ， , ,
, 时开关接通。试求 。
解题指导：本题是求解三阶电路的全响应。首先注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得的电压应与电容值成反比，还有所求的 应包含附加电压源的电压。
解由 时的电路得
复频域电路模型如图13-10(b)所示，对其列结点电压方程
解得
，
例13-14如图13-9所示电路中， ，求零状态响应 。
解题指导：本题为求正弦激励下的零状态响应。对于电桥中的AB支路电流的求解，应首先求出从AB两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。
解运算电路如图13-9(b)所示
求从A、B两点看进去的戴维南等效电路：
开路电压
等效阻抗
于是可得到AB支路电流
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。求原函数 。
（1）
（2）
（3）
解（1）解题指导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 和电容电压初始值 ；
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
于是可得
13．3．3应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例13-8用拉普拉斯变换法求图13-3(a)电路中开关S闭合后的电容电压 （要求画出运算电路模型）。
解题指导：这是一个直流激励下的二阶电路的全响应的求解问题。对于结点较少的电路宜用结点法进行求解。
解由换路前电路求得 , 。
运算电路模型如图13-3（b）所示。列写结点电压方程
式中 和 为正整数，且 。
若 时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。
1． 具有 个单实根时
式中：
则
2． 具有重根时
设 除了 个重根外，其它均为单根，共有 个根。
式中：
则
3． 具有共轭根时
若 有复数根，一定是一对共轭根。设有 个单根，其中两个为一对共轭根， ， 。
求它们的原函数及可得出：
零状态响应
零输入响应
全响应
例13-19如图13-15所示为一零状态电路。求在 激励下的响应 ，并
指明瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应。
解题指导：注意掌握瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应的概念。
解 时，运算电路如图13-15(b)所示。
列两个网孔方程：
又有
联立求解得
于是得到
根据拉普拉斯的微分性质 ，即得
例13-3已知周期函数 ，周期为 ，试求其拉氏变换式。
解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。可利用拉普拉斯变换的时移特性。
解求周期函数的拉氏变换，可以应用时移特性。用 ， ，…分别表示第一周、第二周的波形，则
根据时移特性，若：
则：
根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。由拉氏变换定义可得：
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
解由换路前电路求得 , （电流参考方向见运算电路模型）
运算电路模型如图13-5（b）所示。则按所选回路，回路电流方程为
解得
电压 。进行拉氏反变换得：
例13-11电路如图13-6(a)所示。开关S闭合前电路已达稳态。在 时闭合开关S。用拉氏变换法求换路后的 。
解题指导：本题为求二阶电路的零输入响应。注意受控电流源的状态。
设 ，则有下表中性质。
表13-1拉普拉斯变换的基本性质
序号
性质名称
时域
复频域
1
线性
2
尺度变换
3
时移性
4
频移性
5
时域微分
6
时域积分
7
复频域微分
8
初值定理
9
终值定理
10
时域卷积
11
复频域卷积
13．1．3拉普拉斯反变换
对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即 ，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的 的多项式之比，即 的一个有理分式
求得
进行拉氏反变换得
例13-9用拉氏变换法求图13-4(a)所示电路中电容电压 。已知 , V。
解题指导：由于 为方形脉冲，用拉氏变换法求解，应先写出电源电压 的象函数然后求解。也可分为两段进行求解（后者读者可以自己考虑）。
解电源电压得象函数为
运算电路模型如图13-4(b)所示。则结点电压方程为
求得
代入元件数值，其中：
代入方程组得
反变换得
例13-18在如图13-14（a）所示线性网络中，设 ， ，
试用拉普拉斯变换法求电容电压的零状态分量 ，零输入分量 及全响应 。
解题指导：线性电路的全响应=零输入响应+零状态响应。
解作出运算电路如图13-14（b）所示。
求出各响应的象函数
代入元件值整理得到
其中
画运算电路如图13-12(b)所示。
进行反变换得到
例13-17求图13-13（a）中开关K闭合后，电路中得电流 和 。参数已标在图中。
解题指导：本题的电路非常复杂。所以为计算方便，先将电路化简，用戴维南电路进行等效。
解：设开关K闭合时刻为 ，初始值为
求开关K以左的戴维南等效电路，得出 ， 。作出原电路图的等效电路如图13-13(b)所示。下面用拉氏变换法来分析，为此先作出运算电路，如图13-13(c)所示，其中已进行了消互感的等效变换。列回路电流方程：
1．拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；
2．拉普拉斯变换的定义及其基本性质；
3．拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
4．元件伏安关系及电路定律的复频域形式；
5．运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。
13．2．2本章难点
前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路的稳态过程的方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在 作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。
解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。
解由题图得函数的时域表达式为
其象函数为
例13-2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。
解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。
解对电流 求导，波形如题图13-2（b）所示。则
解复频域节点方程
二端口方程
解得 ，
例13-13图13-8（a）所示电路在 时处于稳态，求 时的 和 。
.
解题指导：本题为求解二阶电路的全响应。在包含了受控源的电路中，注意采用在直流电路中所学过的处理方法：将受控源作为独立电源来处理，并寻找控制量与变量之间的关系。
解
复频域模型如题图13-8（b）：
节点方程
代入已知条件解得
进行反变换得到
例13-16电路如图13-11(a)所示。已知 ， ， ， ， ， , 。求 时的响应 和 。
解题指导：本题为求含有互感电路的全响应。当含有互感的电路为非零初始状态时，注意正确地画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附加电源电压。对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。
进行反变换得到
例13-21如图13-16（a）所示电路， ， ， ， ，电容器初始电压及电感器初始电流均为零。 ， ，开关在 时闭合。求 时的响应 及 。
解题指导：由于开关闭合前后电路结构改变，故分为两个阶段来分析。第一个阶段为求一阶电路的冲激响应，只不过 是个延迟的冲激函数，作用时刻为 。可以等效成一个零输入响应来求解。第二阶段是一个二阶电路求全响应的问题，应用拉氏变换法求解。注意题中时间变量的不同。
解（1） ，开关S未闭合，此时得电路图如图13-16（b）所示。按照已知条件有 ， ， ，可见这是求电路的冲激响应，由此得出： ，仍维持 为0，既有
在 瞬间，电容器被充电，电容电压发生跃变，其值为
， ，电容放电，等效为一个零输入响应。其时间常数为
（3）解题指导：象函数乘以 ，相当于时域中发生了时移 。
例13-6已知象函数 。求其原函数 。
解题指导：当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。
解象函数可变换为
其wenku.baidu.com函数为
例13-7求 的拉氏反变换。
解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。
解所给函数 不是真分式，用长除法，得
解运算电路如图13-11(b)所示，其中 。
电路方程为
2
代入已知数整理得
解得
所以
进行拉氏反变换得
例13-16如图13-12(a)所示， ， ， F， 时
合上开关S，用运算法求 。
解题指导：本题为正弦激励下的二阶电路的全响应的求解。注意初始值的求解应采用相量法。
解由于电路源处于正弦稳态，故采用相量法求初始值 。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
第十三章拉普拉斯变换
13．1基本概念
13．1．1拉普拉斯变换的定义
一个定义在 区间的函数 ，它的拉普拉斯变换式 定义为
式中 为复数， 称为 的象函数， 称为 的原函数。式中积分下限取 ，把上述定义式作如下变形：
可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及 时 可能包含的冲激。
13．1．2拉普拉斯变换的基本性质
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
表13-2元件的伏安关系及运算电路
元件
时域形式
频域形式1
频域形式2
R
L
C
M
在分析时，注意以下几点：
（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；