彻底弄懂最短路径问题
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B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B
·
A
·
C′ C
l
ห้องสมุดไป่ตู้
B′
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山 A Q 河岸
P
大桥 B
运用新知
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”． P A 大桥 B
证明: b
B
练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球， 如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞 到黑球? 2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当 △AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少 ？D D A
C A″ B M C 图 2
N
A′ A 图 1 B
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
最短路径问题 ①垂线段最 短。 B
A
②两点之间，线段最短。
A L L C
B
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ B A
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小．
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两 地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最 短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直。）
a
A M b
N
B
解决问题 2
① 作图
a A A′ N B b M A A′
② 证明
a
M′
M N′
b
N
B
a M′ A M A′ N N′
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
课件说明
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线． ·
A· l
B
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． • 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B
·
A
·
C′ C
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ห้องสมุดไป่ตู้
B′
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山 A Q 河岸
P
大桥 B
运用新知
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”． P A 大桥 B
证明: b
B
练习 1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球， 如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞 到黑球? 2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当 △AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少 ？D D A
C A″ B M C 图 2
N
A′ A 图 1 B
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
最短路径问题 ①垂线段最 短。 B
A
②两点之间，线段最短。
A L L C
B
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ B A
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
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B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
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探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
·
A
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B
C
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B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
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A
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B
C′ C
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B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小．
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两 地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最 短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直。）
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A M b
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B
解决问题 2
① 作图
a A A′ N B b M A A′
② 证明
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M′
M N′
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a M′ A M A′ N N′
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A
八年级
上册
13.4 课题学习 最短路径问题
课件说明
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
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探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线． ·
A· l
B
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． • 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．